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1、第三讲 概率、随机变量及其分布列,一、主干知识1.古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_.(2)每个基本事件出现的可能性_.将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.,有限个,相等,2几何概型：如果每一个事件发生的概率只与构成事件区域的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.3.事件A,B间的三种重要关系：(1)事件A,B彼此互斥.(2)事件A,B对立.(3)事件A,B相互独立.4.二项分布：XB(n,p),P(X=k)=_.,长度,面积,体积,二、必记公式1古典概型的概率公式：P(A)_.2.几何概型的概率公式：P(A)=_.3条件概
2、率公式：P(BA)=_.,4.互斥事件、对立事件的概率公式：P(AB)=_；P(A)=_.5.相互独立事件概率的乘法公式：P(AB)=_.6离散型随机变量的均值、方差：(1)一般地，离散型随机变量X的概率分布为,P(A)+P(B),P(A)P(B),则均值E(X)_，方差V(X)_.(2)若X服从两点分布：E(X)=_，V(X)=p(1-p).若XB(n,p),则E(X)=_，V(X)=np(1-p).E(aX+b)=_，V(aX+b)=a2V(X).,x1p1x2p2xipixnpn,p,np,aE(X)+b,1.(2013安徽高考改编)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，
3、这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_.【解析】当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率当甲、乙两人都被录用时的概率所以所求概率为P=P1+P2=答案：,2.(2013山东高考)在区间-3,3上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|1成立的概率为_.【解析】设f(x)=|x+1|x2|，则f(x)=|x+1|x2|=由2x11且-1x2，解得1x2，即当1x3时，f(x)1成立.由几何概型公式得所求概率为答案：,3.(2013湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=_.
4、【解析】答案：,4.(2013太原模拟)随机变量X服从二项分布XB(n,p),且E(X)=300,V(X)=200,则p等于_.【解析】由已知得解得答案：,热点考向 1 古典概型、几何概型及条件概率的应用【典例1】(1)(2013郑州模拟)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=_.(2)(2013天津模拟)在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a,b,则方程 表示焦点在x轴上且离心率小于 的椭圆的概率为_.,(3)(2013泰安模拟)某艺校在一天的5节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他两门艺术课各
5、1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_.【解题探究】(1)求P(B|A)的两个关键：求P(A)：P(A)=_，求P(AB)：P(AB)=_.,(2)本题属于什么概率模型？计算的关键是什么？提示：属于几何概型，关键是由变量在坐标系中表示出所需要的区域，并求其大小.(3)“课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”，应分类讨论，如何确定分类标准？提示：根据文化课之间艺术课0节、1节、2节分三种情况讨论.,【解析】(1)“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有 种不同选取方式，其中满足事件A的有4种选取方式，所以 而满足事件B要求的有1种，即 再由条件概率计算公
6、式，得答案：,(2)方程 表示焦点在x轴且离心率小于 的椭圆时，有又a1,5,b2,4,画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为答案：,(3)5节课随机安排，共有=120(种)方法，课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类：第1类：文化课之间没有艺术课，有=36(种)，第2类：文化课之间有1节艺术课，有=48(种)，第3类：文化课之间有2节艺术课，有=12(种)，共有36+48+12=96(种).由古典概型公式得答案：,【互动探究】若将(3)中条件“5节课”改为“6节课”，“两门艺术课”改为“3门艺术课”其他条件不变，则结果如何？【解析】6节课随机安排，共有
7、=720(种)方法.课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类：第1类：文化课之间没有艺术课，有=624=144(种).第2类：文化课之间有1节艺术课，有=6326=216(种).第3类：文化课之间有2节艺术课，有=662=72(种).共有144+216+72=432(种).由古典概型概率公式得,【方法总结】1.求解古典概型问题的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识.(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏.,2.几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体
8、积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.(2)关键：构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.3.条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)=这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB),得P(B|A)=,【变式备选】抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.(1)求P(A)，P(B)，P(AB).(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰
9、子的点数之和大于8的概率.【解题提示】(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基本事件.(2)条件概率.,【解析】(1)P(A)=因为两个骰子的点数共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共10个.所以P(B)=当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)=(2)由(1)知P(B|A)=,热点考向 2 利用互斥、对立、独立事件的概率公式求较复杂事件的概率【典例2】(2013石家庄模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为黑球的概率.(2)求取出的4
10、个球中恰有1个红球的概率.,【解题探究】(1)取出的4个球均为黑球，要求甲、乙两个盒中任取2个球需满足什么关系？提示：均为黑球，且同时发生.(2)取出的4个球中恰有1个红球，要求甲、乙两个盒中红球如何取？提示：甲盒中取1红1黑，乙盒中取2黑；甲盒中取2黑，乙盒中取1红1黑两个事件至少有一个发生.,【解析】(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)=P(A)P(B)=,(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球，从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的
11、2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.则由于事件C，D互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD)=P(C)+P(D)=,【方法总结】求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法：求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件或为一独立重复试验问题，然后用概率公式求解.(2)间接法：一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.(3)注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只
12、有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.,【变式训练】某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为 有且仅有一项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.(1)求一个零件经过检测为合格品的概率.(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率.,【解析】(1)一个零件经过检测为合格品，零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.所以本题是一个相互独立事件同时发生的概率问题.设A，B两项技术指标达标的概率分别为P1，P2.由
13、题意得:所以所以一个零件经过检测为合格品的概率P=P1P2=,(2)任意抽出5个零件进行检查，本题是一个独立重复试验,其中至多3个零件是合格品的对立事件比较简单,可以从它的对立事件来解题，所以至多3个零件是合格品的概率为:,热点考向 3 离散型随机变量及其概率分布【典例3】(2013温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束.(1)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率.(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).,【解题探究】(1)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率的两个关键：第一次试验恰摸到
14、一个红球和一个白球包括_个基本事件.求出从8个球中取出2个球包括_个基本事件.(2)求X的分布列的两个关键：定X的值：确定随机变量X的可能取值1,2,3,4.求P(X):P(X=1)=_，P(X=2)=_,P(X=3)=_，P(X=4)=_.,【解析】(1)第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率为(2)因为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=所以X的分布列为,E(X)=,【方法总结】解答离散型随机变量的概率分布及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值.(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.(3)根据概率分布和数学期望、方差公式求解.,【
15、变式训练】(2013陕西高考)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.,【解析】(1)设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.观众甲选中3号歌手的概率为 观众乙未选中3号歌手的概率为所以P(A)=因此，观众甲选中3号歌
16、手且观众乙未选中3号歌手的概率为(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为 观众乙、丙选中3号歌手的概率为,当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X=0)=当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X=1)=当观众甲、乙、丙中有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X=2)=,当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X=3)=X的分布列如下表：E(X)=所以数学期望E(X)=,分类讨论思想解决概率计算与随机变量分布列问题【思想诠释】1.主要类型：(1)概率计算时，根据限制条件，进行分类讨论求解.(2
17、)含有“至少”“至多”等问题的求解，一般要分类讨论.(3)根据随机变量的不同取值，进行分类讨论求其概率值.,2.解题思路：一般结合限制条件或随机变量的可能取值，分类讨论求解.3.注意事项：(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏.(2)随机变量的各种取值情况要考虑全面，其对应的概率计算要准确.,【典例】(10分)(2013汕头模拟)某市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福全市”的共建共享.现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：,(1)求这50位市民幸福指数的数学期望(即平均值).(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全
18、市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民的人数.求的分布列.(3)从这50位市民中，先随机选一个人，记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n,求nm+60的概率P.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：根据计算公式代入数值，求解.关注点：幸福指数(分)的平均值.(2)切入点：确定的可能值及其对应的概率值.关注点：准确求出各取值对应的概率.(3)切入点：计算基本事件总数，待求事件包含基本事件数，用古典概型计算.关注点：m,n的取值不定，需对m,n的取值分类讨论.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)记E(X)表示这50
19、位市民幸福指数的数学期望，则E(X)=(9019+6021+307+03)=63.6(分).2分(2)的可能取值为0，1，2，3，P(=0)=P(=1)=P(=2)=P(=3)=4分,所以的分布列为 5分,(3)基本事件的总数为=2 450.6分满足条件nm+60的有如下各种情况：满足m=0时，n=0,30的事件数为：满足m=30时，n=0,30,60的事件数为：7分满足m=60时，n=0,30,60，90的事件数为：,满足m=90时，n=0,30,60，90的事件数为：8分所以.10分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013成都模拟)某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为(1)求选手甲可进入决赛的概率.(2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出的分布列，并求的数学期望.,【解析】(1)选手甲答3道题可进入决赛的概率为选手甲答4道题可进入决赛的概率为选手甲答5道题可进入决赛的概率为所以选手甲可进入决赛的概率,(2)依题意，的可能取值为3，4，5.则P(=4)=P(=5)=因此，的分布列为所以E()=,
