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1、第二讲 三角恒等变换,必记公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：S()：sin()=_.C()：cos()=_.T()：tan()=_.,sin cos cos sin,cos cos sin sin,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2：sin 2=_.C2：cos 2=_=2cos21=12sin2.T2：tan 2=3.降幂公式：sin2=_.cos2=_.,2sin cos,cos2-sin2,1.(2013郑州模拟)计算：sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于_.【解析】原式=sin(43-13)=sin 30=答案：,2.(2013广东高考改编)已知 那么
2、cos=_.【解析】答案：,3.(2013浙江高考改编)已知R，sin+2cos=则tan 2=_.【解析】由解得 或所以tan=或tan=3，,当tan=时，当tan=3时，tan 2=答案：,4.(2013苏州模拟)已知cos(75+)=则cos(30-2)的值为_.【解析】因为cos(30-2)=cos180-(150+2)=-cos(150+2)=-2cos2(75+)+1答案：,5.(2013南京模拟)已知sin=+cos，且则=_.【解析】因为sin=+cos，所以cos-sin=答案：,热点考向 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【典例1】(1)=_.(2)(2013苏州模拟)
3、若 sin 2=则cos-sin=_.,【解题探究】(1)47如何拆分？提示：47=17+30.(2)当 时，sin 与cos 大小关系如何？提示：sin cos.,【解析】(1)答案：,(2)因为 所以sin cos,cos-sin=答案：,【互动探究】若题(2)中“”改为“”，其他条件不变，结果如何？【解析】因为 所以sin cos,cos-sin=答案：,【变式备选】已知=2，则=_.【解析】tan x=所以答案：,【方法总结】关于两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用(1)公式的逆用:对于asin x+bcos x形式的三角式,当|a|b|等于11,1,1 时,可提取 后逆用两角和与差
4、的正弦公式化为 sin(x+)的形式,其中tan=(2)公式的变形:由两角和与差的正切公式可变形为tan+tan+tan(+)tan tan=tan(+),tan-tan-tan(-)tan tan=tan(-)用于化简求值.,(3)拆角变换:当已知条件中角比较多时,应设法寻求角度之间的关系,必要时对角进行拆分,如2=(+)+(-),等.,热点考向 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式【典例2】(1)(2013四川高考)设sin 2=-sin,则tan 2=_.(2)(2013徐州模拟)已知 则cos 2=_.,【解题探究】(1)求tan 2的值，只需求出的哪个三角函数值？提示：因为tan 2=所
5、以只需求出tan 即可.(2)求cos 2的值，只需求的哪个三角函数值？提示：cos 或sin 都可以.,【解析】(1)因为sin 2=-sin，所以2sin cos=-sin，即cos=又因为 所以tan=tan 2=答案：,(2)因为 所以即所以cos 2=2cos2-1=答案：,【方法总结】1.应用二倍角公式的注意事项(1)由结论选择应用哪个公式.(2)由公式选择求某个角的哪个三角函数值.2.关于二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用(1)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(2)常见变形:sin xcos x=sin 2x,(sin xcos x)2=1sin 2x.,【变
6、式训练】已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若为第二象限角，且 求的值.,【解析】(1)因为f(x)=1+cos x-sin x=1+所以函数f(x)的最小正周期为2，值域为-1，3.(2)因为 所以1+2cos=即cos=因为又因为为第二象限角，所以sin=所以原式,热点考向 3 三角恒等变换问题的综合应用【典例3】(2013梅州模拟)已知函数f(x)sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值.(2)若f(x0)x0 求cos 2x0的值.,【解题探究】(1)函数f(x)的化简思路：倍角公式：sin xc
7、os x=_.降幂公式：2cos2x1=_.将f(x)转化为f(x)=Asin(x+)可采用怎样的方法？提示：可采用配凑法，也可采用辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+)(其中tan=).,cos 2x,(2)求cos 2x0的值的思路：配角：2x0=_.求值：cos 2x0=_.,(2x0+)-,cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin,【解析】(1)由f(x)sin xcos x2cos 2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x)在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又f(0)
8、1，所以函数f(x)在区间 上的最大值为2，最小值为1.,(2)由(1)可知f(x0)又因为f(x0)所以由x0 得从而所以cos 2x0,【方法总结】1.三角函数式化简的思路与方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的运用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等,2.常用角的变形(1)().(2)().(3)()()2.(4)()()2.(5),【变式训练】已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR).(
9、1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值.(2)若为锐角，且 求tan 的值.,【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=所以当(kZ)，即x=k+(kZ)时，函数f(x)取得最大值，其值为,(2)因为 所以所以cos 2=因为为锐角，即0 所以02,所以sin 2=所以tan 2=所以 所以 tan2+tan-=0,所以(tan-1)(tan+)=0,所以tan=或tan=(不合题意，舍去),所以tan=,【典例】已知A，B，C是ABC的三个内角，向量n(cos A，sin A)，且mn1.(1)求角A.(2)若 求角B.,三角
10、恒等变换的交汇问题,【解题探究】(1)本题中mn=_.(2)已知三角函数之间的关系求角B的思路：化简：利用三角公式将 化简；求值：化简求得tan B的值，这里用到_的求解方法.,三角函数的齐次式,【解析】(1)因为mn所以因为0A，所以所以,(2)因为所以所以所以所以 解得所以,【方法总结】与三角恒等变换交汇问题的解题思路(1)与平面向量交汇：利用平面向量坐标表示、数量积、向量的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角恒等变换问题.(2)与三角形交汇：利用三角形内角和为180度，确定角的范围，有时结合正余弦定理解答.,【变式备选】已知a=(1,cos x),b=x(0,).(1)若a
11、b，求 的值.(2)若ab，求sin x-cos x的值.【解析】(1)因为ab所以,(2)因为ab所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=又因为x(0，)且sin xcos x0sin x-cos x0，所以sin x-cos x=,转化与化归思想解答三角恒等变换问题【思想诠释】1.主要类型：(1)求角的问题，如常用到角的转化，即单角转化为倍角、半角；函数名的转化，将切函数转化为弦函数；函数结构式的转化，遵循由繁到简的原则.(2)求函数的值域、单调性、周期，如常先将函数的解析式转化为y=Asin(x+)+B(或y=Acos(x+)+B，y=Atan(x+)+B)的形式，
12、即将问题转化为求y=sin x(或y=cos x，y=tan x)的值域、单调性、周期.,2.解题思路：一角二名三结构，即用转化与化归的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心.(2)变名：看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，注意诱导公式的运用.(3)结构：观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等3.注意事项：(1)在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的理解，避免出现错误.(2)在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性，
13、重视角的范围的探求.,【典例】(14分)(2013合肥模拟)已知函数f(x)=(1)当m=0时，求f(x)在区间 上的取值范围(2)当tan=2时，f()=求m的值,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：把m=0代入f(x)，利用三角恒等变换进行求解关注点：含有区间 需进行区间转化(2)切入点：用三角恒等变换进行转化关注点：给出tan=2，考虑到三角函数的齐次式,【解题】规范步骤，水到渠成(1)当m=0时，f(x)=sin2x+sin xcos x2分又由x 得，4分所以，从而f(x)=所以f(x)在区间 上的取值范围为 6分,(2)f(x)=化简得：f(x)=9分由tan=2，得：，cos 2=12分所以得m=-2 14分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013嘉兴模拟)已知函数f(x)=xR，且(1)求A的值(2)设,求cos(+)的值,【解析】(1)因为所以所以A=(2)因为所以所以sin=,又因为所以所以cos=又因为,所以cos=sin=所以cos(+)=cos cos sin sin,
