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1、,分离变量:,7.2 可分离变量微分方程,解分离变量的方程,1.可分离变量方程的概念,第七章,(只需两边求不定积分),若,=,则称(1)为可分离变量的方程,(1),(2),7.1 微分方程基本概念(略),形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再还原,便得原方程的通解.,2.解法:,分离变量:,7.3 齐次方程,1.定义,若,令,可化为可分离变量的,形如,的方程,的方程,形如,原方程为上述类型,当,时,令,(b0),1).,2).,当,时,有惟一解(x,y)=(h,k),通过变量代换化非标准类型为已知类型方程是常用的方法,如P315第7题,令,令,形如,令,均可化为可
2、分离变量的.,令,可分离,可分离,可分离,一阶线性非齐次方程,的通解,伯努利方程,令,求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.,(线性方程),原方程化为,一阶线性齐次方程,的通解,简单复习7.4,1.连续函数,满足下列方程:,解:,令,又,求,则,两边求导得,(一阶线性非齐次),通解,=,0,所以C=1,则,注:,判别:,P,Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,2.求解方法及步骤:,方法有三种(参见P149,二元函数的全微分求积),求原函数 u(x,y),由 d u=0 知通解为 u(x,y)=C.,则称,为全微分方程(或恰当方程).,1.定义:,若存在,使,简单
3、复习7.5,3.积分因子(恰当因子),使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,若存在连续可微函数,积分因子.,常用微分倒推公式:,7.6 可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,(不显含y),(不显含x),二阶微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,连续 n 次不定积分(且不要常数),为n-1次多项式.,例1.,解:,积分不要常数,所以通解为:,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此
4、力 F 均匀地减,直到 t=T 时 F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分,得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点 A 到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设
5、有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,(好处在后面),(好处),三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例5.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由
6、,两端积分得,因此有,注意“”号,由于 y=R 时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,例6.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,分离变量,显化,例7.求方程的通解,解:令,代入方程得,可求得其通解为:,还原得原方程的通解为:,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例8.,二阶可导,且,上任一点 P(x,y)作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以,解:,于是,在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,再利用 y(0)=1 得,利用,得,两边对 x 求导,得,定解条件为,方
7、程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,P323 1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4,作业,两点说明：,1.方程,的求解?,令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：,(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,1.,解:,建坐标如图:,x,y,B(-1,0),A(0,1),动点A的坐标为(0,1+vt),此时 动点B运动到P(x,y),P(x,y),据题意:,(设法削去t),两边对x求导:,设物体A从点（0，1）出发，以速度大小为常数,v沿y轴正向运动物体B从点（-1，0）与A同时出发，,其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动,轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.,即,初始条件,2.求方程,解:令,代入方程得,的通解为:,的通解为:,的通解,是何类型,?,原方程两边求导得:,化简得,(1),(2),代入原方程检验得,代入检验得,a=0,是原方程的通解.,是原方程的一类解,但非通解.,
