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1、2.4.1 向量在平面几何中的应用,平面几何中的向量方法,向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD中，,设，则,向量 的夹角为 BAD.,例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AEC
2、F是平行四边形。,证明：由已知设,即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,例2.求证平行四边形对角线互相平分,证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设,则,根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以,解得,所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.,例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PEAB于点E，PFBC于点F，连接DP、EF，求证DP EF。,证明：选择正交基底,在这个基底下,设,所以,因此DPEF.,例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。求证：,解：设，则,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。,例5 如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,猜想：AR=RT=TC,由于 与 共线，故设,又因为 共线，所以设,因为 所以,解：设,则,线，,故AT=RT=TC,
