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1、1,向量空间、基和维数,2,一、向量空间概念,则称V是向量空间,定义 设V是非空的n维向量的集合，如果（1）V对加法运算具有封闭性，即，有（2）V对数乘运算具有封闭性，即,3,特例：1、只有一个零向量所构成的向量空间 称为零空间。2、所有的n维向量全体构成一个最大的向量空间,4,5,二、向量空间的基与维数,定义,且满足：,(1)1,2,r 线性无关；,(2)V 中任一向量都可以由1,2,r 线性表示；,则称1,2,r 为V的一组基底，简称基，,r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。,设V为向量空间，若存在1,2,r V.,6,注1：若将向量空间V看成无穷个向量组成的向量组，其基就是其极
2、大线性无关组，其维数就是其秩。,注2：零空间 没有基，规定其维数为0。,7,例如：对于Rn,(1)基本单位向量组 是一组基，称为标准基。,(2)1=(1,0,0,0),2=(1,1,0,0),，n=(1,1,1)也是基。,原因是什么？,8,三、向量在给定基下的坐标,定义4.2,设1,2,n 是向量空间 V 的一组基，任取 V,都有,=x11+x22+xnn,且组合系数 x1,x2,xn 唯一，称为向量 在基 1,2,n 下的坐标，记为(x1,x2,xn),为什么唯一,9,例如：在 R3 中，,=(2,3,1)T,=213 2+1 3,注：1、基并不是唯一的 2、向量在不同基坐标也不同,10,例,求向量 在如下基下的坐标,
