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1、1,第二节 向量间的线性关系,一、n维向量二、向量的线性关系三、线性相关性四、特殊向量组的几何意义,2,一、n维向量,数域F上的n个数,定义,组成的有序数组,称为数域F上的一个n维向量,其中,称为向量的第i个分量(i=1,2,n),=a1,a2,an,或,=a1,a2,anT,行向量,列向量,本节中，n维向量均指n维列向量,3,数域F上的全体n维列向量构成的集合记作 Fn,分量都是0的n维向量称为零向量，记作0,向量,称为n维向量,的负向量,记作,分量全是实数(复数)的n维向量称为实(复)向量,向量可以看作是特殊的矩阵,4,例1,矩阵,有3个行向量,有4个列向量,5,若干个维数相同的列向量(或
2、维数相同的行向量)所构成的集合叫做向量组,由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的部分组,例如,向量组在本课程中的重要性,向量组,，称为矩阵A的行向量组,8,设有两个n 维向量,和一个实数 kR,则定义,=a1,a2,anT,=b1,b2,bnT,(1)=ai=bi,i=1,2,n,(2)+=a1+b1,a2+b2,an+bn T,(3)k=ka1,ka2,kanT,(4)-=(-1)=-a1,-a2,-anT,(5)-=+(-1),二、向量的线性运算,9,对任何的n维向量,及任意实数k,l,向量的加法及数乘运算统称为向量的线性运算.满足下列的八条性质,(1)+=+,(2)(+)+=
3、+(+),(3)+0=,(4)+(-)=0,(5)1=,(6)k(l)=(kl),(7)k(+)=k+k,(8)(k+l)=k+l,10,例2,设,若3维向量,满足,试求向量,解 由,11,三、线性相关性,设,定义,则对任意常数,F,向量,称为这s个向量的一个线性组合,设,若存在常数,使得,则称向量,可以表为,的线性组合,或称,可由向量组,线性表出(或线性表示),12,n维零向量0是任一n维向量组,例3,的线性组合,13,例4,设,n维单位坐标向量组为,则,可由,线性表出,14,例5,向量组A:1,2,s中的任一向量都可以由这个向量组线性表示,已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？或者说：
4、一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。如果能是否唯一？,综合：,26,n元线性方程组AX=有解的充分必要条件是向量可由其系数矩阵A的列向量组 线性表出,定理,向量可由向量组 线性表出的充分必要条件是,推论,其中,27,设=1,1,1T,=1,3,0T,=2,4,1T,例6,试将向量 用向量 与 线性表出,28,向量组的线性相关与线性无关的概念,对于向量组 1,2,s如果存在,不全为零的数 k1,k2,ks,使得,则称这个向量组线性相关 否则称这个向量组线性无关,k11+k22+kss=0,定义,注意,注,证,例,35,定理,设,令,则向量组,线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组
5、,有非零解.,推论2.2.2,设,则向量组,线性相关的充分必要条件是,36,推论2.2.3,令,则n维向量组,线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组,的系数行列式等于零,例7 任意s(n)个n维向量必线性相关,任意n+1个n维向量必线性相关,设,令,则,有非零解,向量组,必线性相关,37,定理2.2.3,令,则n维向量组,线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组,仅有零解.即向量组,线性无关的充分必要条件是,例,39,例8,是三个向量,由于2=21,因而有,系数 2,-1,0 不全为零由上述定义可知1,2,3线性相关,21+(-1)2+03=0,40,例9 含有零向量的任一向量组线性相关
6、,设向量组为 0,1,2,s 对任意的数 k 0，有,k0+01+02+0n=0,41,如果n维向量组,例11,线性无关,试判断向量组,的线性相关性,解 设存在数,使得,即,线性无关,故,42,齐次线性方程组的系数行列式为,当s为奇数时,|A|=2,方程组仅有零解.所求向量组线性无关,当s为偶数时,|A|=0,方程组有非零解.所求向量组线性相关,43,若n维向量组,例12,线性无关，那么在每一个向量的第n个分量后都,添加一个分量所得到的n+1维向量组,亦线性无关(即“无关组的延长组亦无关”),44,定理,向量组1,2,s(s2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量的
7、线性表出,45,线性相关的向量组中未必每个向量均可由其余 s-1个向量线性表出,1=1,0,0T 2=0,1,0T 3=0,0,0T1 不能由 2,3 线性表示,46,推论2.2.4,向量组,线性无关的充分必要条件是它的每一个向量都不能由其余s-1个向量线性表出,定理2.2.5,若向量组,线性无关,而向量组,线性相关,则向量,可由向量组,线性表出,且表示法唯一,47,若向量组1,2,s中有一部分向量线性相关,则该向量组线性相关,例13,反之未必,48,若向量组1,2,s线性无关,则其任一部分 向量组都是线性无关,反之未必,可总结如下结论 部分相关整体相关 整体无关部分无关 整体相关部分相关 部
8、分无关 整体无关,49,向量组1,2,m线性相关还是线性无关,通常 是指 m2 的情况,但也适用于 m=1的情形.我们先就 m=1,m=2,m=3的情形作一些讨论,当m=1时,向量组只有一个向量.若=0,则 对任一非零常数k均有 k=0;若 0,则仅 当 k=0 时才有 k=0.由定义可知 当=0 时,则是线性相关的;当 0 时,则是线性无关的,四、特殊向量组的几何意义,50,当m=2时,向量组有两个向量,如果这两个向量线性相关，则有不全为零的数 k1,k2使得 k1+k2=0,如果 k10，则有,如果 k20，则有,因而两个向量线性相关则它们的对应分量成比例，反过来也一样成立,=a1,a2,anT,=b1,b2,bnT,51,一个向量线性相关的几何意义是它是坐标系原点二个向量线性相关的几何意义是二向量共线三个向量线性相关的几何意义是三向量共面,若向量组,线性相关,则必有一个向量可由其余2个向量线性表出,当m=3时,
