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1、专题四 数列第一讲 等差、等比数列的概念与性质,一、主干知识1.等差数列的定义：an为等差数列_(nN*，d为常数).2.等比数列的定义：an为等比数列_(其中nN*,an0,q为不为零的常数).,an+1-an=d,3.等差、等比中项：(1)若x,A,y成等差数列A为x，y的等差中项2A=_.(2)若x,G,y成等比数列G为x,y的等比中项G2=_.4.数列an的前n项和Sn与通项an的关系式：an=,x+y,xy,Sn-Sn-1,二、必记公式,a1+(n-1)d,(n-m)d,a1qn-1,qn-m,1.(2013新课标全国卷改编)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a
2、5=9，则a1=_.【解析】由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1=答案：,2.(2013安徽高考改编)设Sn为等差数列an的前n项和，S8=4a3,a7=2，则a9=_.【解析】由S8=4a38a1+d=4(a1+2d);由a7=-2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.答案：-6,3.(2013江西高考改编)等比数列x，3x+3，6x+6，的第四项等于_.【解析】因为等比数列的前三项为x，3x+3，6x+6，所以(3x+3)2=
3、x(6x+6)，即x2+4x+3=0，解得x=-1或x=-3.当x=-1时，3x+3=0不合题意，舍去.故x=-3.此时等比数列的前三项为-3，-6，-12.所以等比数列的首项为-3，公比为2，所以等比数列的第四项为-324-1=-24.答案：-24,4.(2013南通模拟)各项均为正数的等比数列an中，a2-a1=1,当a3取最小值时，数列an的通项公式an=_.【解析】设公比为q,依题意a1q-a1=1,a1=(q1),a3=a1q2=(当且仅当q=2时取等号)，a1=1,所以an=2n-1.答案：2n-1,5.(2013北京高考)若等比数列an满足a2a4=20，a3a5=40，则公比q
4、=_；前n项和Sn=_.【解析】所以a2+a4=2a1+8a1=20,所以a1=2，答案：2 2n+12,6.等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.【解析】由S3=-3S2可得a1+a2+a3=-3(a1+a2),即a1(1+q+q2)=-3a1(1+q)化简整理得q2+4q+4=0,解得q=-2.答案：-2,热点考向 1 等差(比)数列的基本运算【典例1】(1)(2013新课标全国卷改编)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=_.(2)(2013湖北高考)已知等比数列an满足：|a2-a3|=10,a1a2a3=125求数列a
5、n的通项公式;是否存在正整数m,使得 若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由,【解题探究】(1)an与Sn的关系是什么?提示：an=Sn-Sn-1(n2)(2)怎样求等比数列an的首项a1和公比q?提示：把已知条件用a1,q表示出来,解方程(组)即可,求 的关键点()如何判断数列 的类型?提示：可根据an先求出 再判断数列类型()怎样确定 与1的关系?提示：根据 的表达式判断,【解析】(1)由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列an为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为Sm=0，所以m(a1+2)=0，因为m0，所以a1=-2，又am=a1+(m-
6、1)d=2，解得m=5答案：5,(2)设等比数列an的公比为q,则由已知可得解得 或故an=3n-1，或an=-5(-1)n-1,若an=3n-1，则故 是首项为 公比为 的等比数列，从而若an=(5)(1)n1，则故 是首项为 公比为1的等比数列，,从而故综上，对任何正整数m，总有故不存在正整数m，使得 1成立,【方法总结】等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量.在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本量.(2)解题思路.求公差d(公比q):常用公式an=am+(nm)d(an=amqnm);列方程组:若条件与结论的联系不明显时,常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组
7、求解,但要注意消元及整体计算,以减少计算量.,【变式训练】设递增等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=1,a4是a3和a7的等比中项.(1)求数列an的通项公式.(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)在递增等差数列an中，设首项为a1，公差为d(d0),因为,解得所以an=-3+(n-1)2=2n-5.(2)所以Sn=n2-4n.,热点考向 2 等差(比)数列的性质【典例2】(1)(2013天津模拟)等差数列an中,如果a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,数列an前9项的和为_.(2)(2013三门峡模拟)在等比数列an中，若a3a5a7a9a11=243,则 的值为_.
8、,【解题探究】(1)根据a1+a4+a7=39能求的项是_,根据a3+a6+a9=27能求的项是_.(2)由a3a5a7a9a11=243可求的项是_，a92与a11之间的关系是_.,a4,a6,a7,a92=a7a11,【解析】(1)由a1+a4+a7=39,得3a4=39,a4=13.由a3+a6+a9=27,得3a6=27,a6=9.所以答案：99,(2)在等比数列an中，a3a5a7a9a11=243.因为a3a11=a5a9=a72，所以a75=243,所以a7=3.结合等比中项的性质可知答案：3,【互动探究】本例题(1)中条件不变,试求a2+a5+a8的值.【解析】由本题解析知a4
9、=13,a6=9,所以a2+a5+a8=3a5=,【方法总结】等差(比)数列的性质盘点,【变式备选】(2013南京模拟)设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若a12+a22=a32+a42,S5=5，则a7的值为_.,【解析】设an的公差为d,则d0.因为a12+a22=a32+a42,所以a32-a12+a42-a22=0.即(a3-a1)(a3+a1)+(a4-a2)(a4+a2)=0,2d(a1+a2+a3+a4)=0.又因为d0，所以a1+a2+a3+a4=0，S5=5,a5=5.S5=5a3=5,所以a3=1.而2a5=a7+a3，所以a7=9.答案：9,热点考向 3
10、 等差(比)数列的判定与证明【典例3】(2013无锡模拟)已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：(1)设 求证：数列 是等差数列.(2)若数列an是等比数列，试证其公比等于1.,【解题探究】(1)要证数列 是等差数列,只需用定义法证明.(2)证明公比等于1的切入点:三者的大小关系是;,根据得到an+1的范围是;本题直接证明不易证,故由想到可用_法证明等比数列an的公比等于1.,反证,【证明】(1)因为所以所以所以所以数列 是以1为公差的等差数列.,(2)因为an0,bn0,所以(*)，设等比数列an的公比为q，由an0知q0，下面用反证法证明q=1.若q1则所以当 时，,与(*)矛盾.若0
11、q1,则所以当 时，an+1=a1qn1，与(*)矛盾.所以综上所述，q=1.,【方法总结】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证 为同一常数.(2)通项公式法.若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(nN*),则数列an为等差数列;若an=a1qn-1=amqn-m或an=pqkn+b(nN*),则数列an为等比数列.,(3)中项公式法.若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则数列an为等差数列;若an2=an-1an+1(nN*,n2),则数列an为等比数列.,【变式训练】已知数列an中,Sn是其前n项和,并且Sn+
12、1=4an+2(n=1,2,),a1=1,(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,),求证:数列bn是等比数列.(2)设cn=(n=1,2,),求证:数列cn是等差数列.(3)求数列an的通项公式及前n项和.,【解析】(1)由Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减,得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),即an+2=4an+1-4an,所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).又bn=an+1-2an,所以bn+1=2bn 已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=30 由和得,数列bn是首项为3,公比为2的等比
13、数列,且bn=32n-1.,(2)因为所以=故数列cn是首项为 公差为 的等差数列，且,(3)因为所以当n2时,Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2;当n=1时,S1=a1=1也适合上式.综上可知,数列an的前n项和Sn=2n-1(3n-4)+2.,【典例】已知数列a1,a2,a30,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a30是公差为d2的等差数列(d0).(1)若a20=40,求d.(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.(3)续写已知数列,使得a30,a31,a40是公差为d3的等差数列
14、,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?,等差(比)数列的综合问题,【解题探究】(1)a10的双重身份是什么?提示:a10是公差为1的等差数列的第十项,也是公差为d的等差数列的第一项.(2)a30关于d的函数类型是什么?提示:二次函数.(3)试用d表示a40,由此你能想到用什么方法得到一般结论?提示:a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3);可用归纳推理得到一般结论.,【解析】(1)由题意可得a10=10,a20=10+10d=40,所以d=3.(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)=当d(-
15、,0)(0,+)时，a307.5,+).(3)所给数列可推广为无穷数列,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列,当n1时,数列a10n,a10n+1,a10(n+1)是公差为dn的等差数列.,研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求出a10(n+1)的取值范围.研究的结论可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3),依次类推可得:a10(n+1)=10(1+d+dn)=当d0时，a10(n+1)的取值范围为(10,+).,【方法总结】等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地
16、运用性质，可使运算简便.(2)等差(比)数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可.,【变式备选】已知在直角坐标系中,An(an,0),Bn(0,bn)(nN*),其中数列an,bn都是递增数列.(1)若an=2n+1,bn=3n+1,判断直线A1B1与A2B2是否平行.(2)若数列an,bn都是正项等差数列,设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn(nN*).求证:数列Sn是等差数列.,【解析】(1)由题意A1(3,0)，B1(0,4)，A2(5,0)，B2(0，7).所以因为 所以直线A1B1与A2B2不平
17、行.(2)因为数列an，bn为正项等差数列，设它们的公差分别为d1，d2(d10，d20)，则an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2,an+1=a1+nd1,bn+1=b1+nd2,由题意,所以=所以所以Sn+1-Sn=d1d2是与n无关的常数，所以数列Sn是等差数列.,函数与方程思想解决数列中的求值问题【思想诠释】1.主要类型：(1)求等差(比)数列中的某些量时,常根据条件构建关于a1,d(q)的方程组求解,如求等差(比)数列的通项公式,前n项和公式等.(2)求等差(比)数列中的某些量的取值范围或最值时,常将待求量转化为某一变量的函数,将问题转化为求函数的值域或最值问题,如求
18、等差数列前n项和的最值问题.(3)研究等差(比)数列单调性时,利用研究函数单调性的方法求解.,2.解题思路：结合条件与所求的问题,通过列方程组或将待求问题转化为函数问题求解.3.注意事项：(1)列方程组时,应注意有几个变量就列几个方程.(2)把所求问题转化为函数问题时,应注意要确定自变量的取值范围.,【典例】(14分)(2013烟台模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn,且满足:a2a4=65,a1+a5=18.(1)若1i21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值.(2)设 是否存在一个最小的常数m使得b1+b2+bnm对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若
19、不存在，请说明理由.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点:根据等差数列性质求出a2和a4,先求等差数列an的通项公式;关注点:判断a2,a4时注意公差大于零的条件的应用.(2)切入点:先求Sn,从而确定bn;关注点:把b1+b2+bn看作关于n的函数,求函数的值域.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)数列an为等差数列,因为a1+a5=a2+a4=18,又a2a4=65,所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根,又公差d0,所以a2a4,所以a2=5,a4=13.3分所以 所以a1=1,d=4.所以an=4n-3.5分由1i21，a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,所以a1a
20、21=ai2,即1 81=(4i-3)2,解得i=3.7分,(2)由(1)知,所以,10分所以b1+b2+bn=因为,12分所以存在 使b1+b2+bnm对于任意的正整数n均成立.14分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013北京模拟)已知等比数列an满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式.(2)若求使Sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值.,【解析】(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，有 即由得q2-3q+2=0，解得q=1或q=2.当q=1时，不合题意.舍去；当q=2时，代入得a1=2，所以an=22n-1=2n.(2)所以Sn=2-1+22-2+23-3+2n-n=(2+22+23+2n)-(1+2+3+n),=因为Sn-2n+1+470,所以即n2+n-900,解得n9或n-10.因为nN*，故使Sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值为10.,
