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1、等比数列(1),一、温故知新：,1、等差数列定义：2、等差数列单调性：,anan=d(d为常数),d0单调递增d0单调递减d=0常数列,用什么方法推出的呢？,1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_ 2.对于数列(2),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_ 3.对于数列(3),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_,1/2,20,2,观察以上数列各有什么特点：,如果一个数列从第 _项起，每一项与它的前一项的 _等于 _一个常数，那么这个数列就叫做 这个常数叫做等 数列的 _,1.等比数列定义：,二,比,同,等比数列,公比,等差数列定义,如果一个数列从第二项起，每一项与
2、它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示,公比通常用字母q表示,比,(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？,（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？,等差数列,等比数列,或 an+1-an=d(n1),an an-1=d(n2),非零的常数数列既是等差数列又是等比数列,（2）公比q能等于0吗？,等比数列,由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a n 0 且 q 0,等差数列,由于等差数列是作差 故a n , d 没有要求,探究：（1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？,课堂互动,(1) 1，3，
3、9，27，81，,(3) 5，5，5，5，5，5，,(4) 1，-1，1，-1，1，,是,公比 q=3,是,公 比q= -1,(2),是,公比 q=,观察并判断下列数列是否是等比数列:,是,公比 q=1,(5) 1，0，1，0，,(6) 0，0，0，0，,不是等比数列,不是等比数列,() 1, ， ，,等比数列的有关概念,观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.,(2) 1，3，9，27，81，243，,(3),(4),(5) 5，5，5，5，5，5，,(6) 1，-1，1，-1，1，,以上6个数列的公比分别为,公比 q=2 递增数列,公比 q=3 递增数列,公比 d= x,公比 q
4、=1 非零常数列,公 比q= -1 摆动数列,因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。,公比 q= 递减数列,等比数列中：,叠乘法,叠加法,等比数列通项公式推导:,等差数列通项公式推导: 设公差为 d 的等差数列 a n ，则有:,a n a 1 = ( n1 ) d (n2）,等差数列 a n 的首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为 _,a n = a 1 + ( n1 ) d，n N +,设公比为 q的等比数列 a n ，则有:,q,q,q,首项为 a 1，公比为 q 的等比数列的通项公式：,a n= a 1 q n1,(a 1 0 且 q 0 n N +),(n2）,(
5、1) 2，4，8，16，,(2) 2，2 , 4, 4 ,(4) 5, 5, 5, 5, ,(3) 1, , , , ,a n =2n,a n=,a n=,a n=5,练习:写出下列等比数列通项公式,1.求下列各等比数列的通项公式：（1）,练习,解：,解：,例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。,把代入，得,因此,1.由下面等比数列通项公式,求首项与公比.(口答) (1). (2)2.设 成等比数列,其公比为2,则 的值为多少.,课 堂 练 习,3若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为（ ）（A）4 （B）1 （C）1或4 （D）1
6、或4,A,1 在等比数列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a1。 解：由已知得：,答： q和a1分别是2和1。,等比数列的通项公式练习,例题讲解:,在等比数列 中,例4在4与 之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。,解：依题意，a1=4，,由等比数列通项公式得,所以,因此插入的3个数依次是2，1 ，,或2，1，,3、等比中项的定义：,探究：类比等差数列，等差数列有等差中项公式，请你给出等比中项公式。,等比数列,等差数列,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与
7、b的等差中项。,等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。,练习：,练习：求下列各组数的等比中项,（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，1,3,2,6,1,若a，b异号则无等比中项；若a，b同号则有两个等比中项,2.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),则此数列( )A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或是等差数列或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列,C,A，,1、在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数为（）,B,3.若数列an的前n项和为 ,那么这个数列的通项公式是( )an=23n-1 B. an=
8、32nC. an=3n+3 D. an=23n,D,4.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10,B,5.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy0,那么 的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,B,6.已知a1,a2, ,a8是各项为正数的等比数列,公比q1,则( )A.a1+a8a4+a5 B. a1+a8a4+a5C. a1+a8=a4+a5 D. a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定.,A,7.已知数列1,a1,a2, 4成等差数列, 1,b1,b2,b3, 4
9、成等比数列,则的值是 .,等比数列,由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a 1 0 且 q 0,等差数列,由于等差数列是作差 故a 1 d 没有要求,判断数列是等差数列的方法,判断数列是等比数列的方法,或 an+1-an=d(n1),an an-1=d(n2),结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列,特别地，如果是 等比数列，c是不等于的常数，那么数列 也是等比数列,1.求证若数列 an 是等差数列, 则 ban 是等比数列,2求证 若数列 an 是正项等比数列, 则 logban 是等差数列.,1.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证:数列an+1
10、是等比数列.(2)求an的通项公式.,2.已知数列an满足(1)求证:数列an 是等比数列.(2)求an的通项公式.,补充:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数,等差数列,等比数列,定义,数学表达,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。,an+1-an= d(常数),符号表示,首项a1, 公差d,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。,首项a1, 公比q(q0),d与an,q与an,d0 an 递增 d
11、0 an 递减 d0 an 为常数列,q0 an 中各项同号q0 an 中的项正负相间q1 an 为非零常数列,通项公式,an= a1+（n-1）d,an= a1qn-1,等比中项,a,A,b成等差数列, 2A=ab,a,G,b成等比数列, G2=ab,判定等比数列常用方法,(1)定义法:,(2)等比中项法:,(3)通项法:,等比数列(2),二.学以致用,已知等比数列的公比为q,第m项为 ,求 .,练习,已知等比数列,证明:,练习:,在等比数列an中，a2=-2,a5=16，a8= .在等比数列an中，且an0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .在等比数列an中
12、，若则a10=,-128,6,1、若等比数列an, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是_.,16,2、若等比数列an中,若已知a2=4,a5= ,求an; 若已知a3 a4a5=8,求a2a6的值.,2、在等比数列 中， ，求该数列前七项之积。,3、在等比数列an中, , ,求a8.,1、在等比数列an中，已知 , ,求,练习：,二.新课讲授,例2在等比数列an中，（1）a5=2,a10=10，则a15（2）,那么,（3）若则a5a16+a9a12=30,求,例3已知在等比数列中,且q=2，求a1和n.,解（一）,解（二）利用等比性质,例5、等比数列 a n 中， a 4 a 7
13、 = 512，a 3 + a 8 = 124,公比 q 为整数，求 a 10.,法一：直接列方程组求 a 1、q。,法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5,法三：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 512, 公比 q 为整数, a 10 = a 3q 10 3,= 4(-2) 7,= 512,三个正数成等比数列，他们的和等于21，倒数的和等于 ，求这三个数。,解：设三个正数为：,得：,3、有三个数成等比数列，若它们的积等于64，和等于14，求此三个数？,4：有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的和等于19，后三个数成等差数列，它们的和等于12，求此四个数？,二.新课讲授
14、,等比中项的应用,例1有四个数，前三个成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其平方和为56，求这四个数。,注意：,（1）等比数列中若三个数成等比数列，可以设为,（2）等比数列中若四个数成等比数列，不能设为,因为这种设法表示公比大于零。,例2、三数成等比数列,积为27,和为13,求这三个数。（三维）,解：设所求三数为,所以三数为1，3，9或9，3，1,注意：三数成等比数列且积一定，设为a/q,a,aq。同号四数成等比数列且积一定，设为,1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数.,解: 由已知可设前三个数为 a-d, a,
15、 a+d(d 为公差)且 a+d0.,后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,解得: a=16, d=4.,故所求四数分别为 12, 16, 20, 25.,a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.,a-d=12, a+d=20.,课后练习题,已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c ( ),A. 成等差数列不成等比数列B. 成等比数列不成等差数列C.成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列,结论：若数列an为等比数列，则数列logaan(a0且a1)为等差数列.,二.新课讲授,例4已知数列an是各项为正数的等比数列，且q1，设bn=log2an,且b1+
16、b3=6, b1b3=8,(1)求an的通项公式；,(2）设bn的前n项和为Sn，当,最大时，求n的值,4.已知an是各项均为正的等比数列,求证:lgan为等差数列.,5.已知bn是等比数列,与数列an满足bn= ,nN*.(1)求证:数列an是等差数列(2)若a8+a13=1/2,求b1b2b20.,3.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10,B,4.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy0,那么 的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,B,补充作业：,1已知三个数成等比数列，
17、它们的积为27，它们的立方和为81，求这三个数。,2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数,练习:,1)在等差数列an中，a2=-2,a5=54，求a8=_.2)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_.3)在等差数列an中， a15 =10, a45=90,则 a60 =_. 4)在等差数列an中，a1+a2 =3, a3+a4 =1, 则a5+a6=_ .,110,运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq,性质：从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为
18、2d.(可推广),性质：若an是公差为d的等差数列 cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。,180,130,P503，4 ,P50例3 ,P525,性质：等差数列中,Sn, S2n -Sn ,S3n -S2n,例3.在等比数列an中1) 若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q2)若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.3)若a4a7+a5a6=20,求其前10项的和.,1.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),则此数列( )A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或是等差数列或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列,C,
