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1、【课标要求】 1进一步了解等差数列的项与序号之间的规律 2理解等差数列的性质 3掌握等差数列的性质及其应用【核心扫描】 1等差数列的性质及证明(重点) 2运用等差数列定义及性质解题(难点),第2课时 等差数列的性质及其应用,等差数列的项与序号的关系,自学导引,1,(nm)d,aman,：在等差数列an中，如果mn2w(m，n，wN)，那么aman2aw是否成立？反过来呢？提示：若mn2w(m，n，wN)，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(w1)d2aw，显然成立；在等差数列an中，若aman2aw，不一定有mn2w，如常数列,等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中
2、，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2(2)若an、bn分别是公差为d，d的等差数列，则有(3)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0an为递减数列；d0an为常数列,2,等差数列的公差与斜率的关系当k0时，对于常数函数f(x)b，上式仍然成立(2)等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率如am，an是等差数列an的任意两项，由anam(nm)d，,名师点睛,1,等差数列的“子数列”的性质若数列an是公差为d的等差数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列a2n1是公差为2d的等差数列；偶数项数列a2n是公差为
3、2d的等差数列；(3)若kn成等差数列，则akn也是等差数列；(4)从等差数列an中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化,2,题型一等差数列性质的应用,(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值思路探索 分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通项公式求解,【例1】 (1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8.,(2)an是公差为正数的等差数列，设公差为d，a1a32a2，a1a2a3153a2，a25，又a1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12
4、a133a12105. 法一运用了等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算属于通性通法两种方法都运用了整体代换与方程的思想,在等差数列an中：(1)若a35，则a12a4_；(2)若a158，a6020，则a75_.解析(1)a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.(2)法一设首项为a1，公差为d.a158，a6020，,【变式1】,法三an为等差数列，a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，设公差为d，则a15为首项，a60为第4项a60a153d，即2
5、083d，d4.从而a75a60d20424.答案(1)15(2)24,(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数思路探索 (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为ad，a，ad(d为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d),题型二等差数列的设法与求解,【例2】,解(1)法一设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad.依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故
6、三个数为2,2,6或6,2，2.法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2.(2)法一设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，,即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.法二若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，化简得d24，
7、所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，故所求的四个数为2,0,2,4.,利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量,已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列解设此四数依次为a3d，ad，ad，a3d.,【变式2】,题型三由递推关系式构造等差数列求通项,(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问a1
8、a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由,即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项,已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力,(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式解(1)(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1.(2)由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.,【变式3】 在数列an中
9、，a12，an1an2n1.,【例4】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个,题型四等差数列的实际应用,请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由(3)哪一年的规模最大？请说明理由审题指导 本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征规范解答 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为a
10、n，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn. (2分),所以c2a2b21.22631.2. (6分)(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (8分),(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6) (10分)所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年
11、这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大(12分),【题后反思】 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，让人回味无穷题型设计的开放和解答的开放是时代的要求这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华,某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，nN*)，每年获利
12、构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损,【变式4】,数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决问题，运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，an，n，d，掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算 已知等差数列an的公差是正数，并且a3a712，a4a64，求数列an的通项公式思路分析 其实这样的题目我们已有解决它的办法，但如果细心观察，我们发现得到a3，a7的和与积，于是联想到一元二次方程及根与系数的关系,方法技巧函数与方程思想在等差数列中的应用,【示例】,解由等差数列an的性质知：a3a7a4a6，从而a3a712，a3a74，故a3，a7是方程x24x120的两根，又d0，解之，得a36，a72.则ana1(n1)d10(n1)22n12，即an2n12.,方法点评 本题利用了a3a7a4a6这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了a36，a72，再利用方程组求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知数列解题时往往可借助方程的思想与anamapaq找出解题的捷径,
