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1、第二课时等差数列的性质,1进一步了解等差数列的项与序号之间的规律2理解等差数列的性质3掌握等差数列的性质及其应用4掌握等差中项的概念与应用.,1灵活应用等差数列的性质，求数列中的项(或通项)(重点，难点)2利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点)3常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中低档题.,1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式为ana1(n1)d，anam(nm)d(m，nN)3若数列an的通项公式为an3n1，则a1a623，a2a523，
2、a3a423.你能看出有什么规律吗？,1等差数列增减性对于数列ana1(n1)d(1)当d0时，an为 ；(2)当d0时，an为；(3)当d0时，an为,递增数列,递减数列,常数列,2等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使 ，那么A叫作a与b的等差中项，且A 3等差数列的其它常用性质,a，A，b成等差数列,aman,an1,an2,pd1qd2,md,1下列说法中，正确的是()A若an是等差数列，则|an|也是等差数列B若|an|是等差数列，则an也是等差数列C若存在自然数n使2an1anan2，则an是等差数列D若an是等差数列，则对任意正整数n都有2an1anan2答案：D,2若an是等
3、差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9()A9B20C9.5 D33解析：方法一：a1a4a7453a445又a2a5a8393a539da5a413152a3a6a93a63(a5d)33，故选D.,方法二：an是等差数列，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9也成等差数列，首项为45，公差为39456，a3a6a939633.答案：D3方程x26x10的两根的等差中项为_答案：34在等差数列an中，a4a515，a712，则a2_.答案：3,5在等差数列an中：(1)a2a3a10a1148，求a6a7；(2)a1a4a8a12a152，求a3a13；(3)a3a1
4、110，求a2a4a15.解析：(1)a2a11a3a10a6a7，而a2a3a10a1148，2(a6a7)48，得a6a724.,(2)a1a15a4a122a8.而a1a15(a4a12a8)2，即2a83a82.a82.a3a132a84.(3)a3a112a710，a75.又a2a4a15a7a7a73a715.a2a4a1515.,等差数列性质的应用(1)在等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求数列的通项公式；(2)设an为等差数列，若a3a4a5a6a7450，求a2a8.,(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1和公差d，得出通项公式；(2)
5、既可以先求a5，也可以通过首项与公差求解,解题过程(1)a1a72a4a2a6，a1a4a73a415.a45，a2a610，且a2a69.a2，a6是方程x210 x90的两根若a21，a69, 则d2，an2n3；若a29，a61，则d2.an132n.故an2n3或an132n.,(2)方法一：a3a7a4a62a5a2a8，a3a4a5a6a75a5450.a590，a2a82a5180.方法二：因为an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a3a4a7a12da13da16d5a120d，即5a120d450，a14d90，a2a8a1da17d2a18d180.,题后感悟求等差数列的
6、通项公式，必须求出首项a1与公差d，为此，利用等差数列的性质，转化为等差数列的两项的方程组求解. 等差数列的项与项数有着密切的联系，由mnkl2w可得amanakal2aw，在解决等差数列的有关问题中应用非常简便,1在等差数列an中，(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解析：(1)根据已知条件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.,题后感悟(1)到目前为止，判断一个数列an为等差数列的方法有：定义法，即an1and；通项公式法，即anAnB；等差中项法(无穷数列)，2anan1an1(n2，且nN)(2)要证三个
7、数a，b，c成等差数列，只需证2bac即可，若已知三个数a，b，c成等差数列，则有2bac.,(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项的积为8，求这四个数,策略点睛,规范作答(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad，依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故这三个数为2,2,6或6,2，2.方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a
8、2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，这三个数为2,2,6或6,2，2.,(2)方法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.,即1 d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，故所求的四个数为2,0,2,4.,题后感悟利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：
9、a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量,3已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数解析：设所求四个数为a3d，ad，ad，a3d依题意可得，,1等差数列通项公式的推广由等差数列an的通项公式ana1(n1)d，容易得到anam(nm)d，这可以看作等差数列通项公式的推广公式事实上，am(nm)da1(m1)d(nm)da1(n1)dan.,3等差数列的“子数列”(1)在公差为d的等差数列an中，可以有规律的选择出某些项，使它们组成新的等差数列如数列a2n，a2n1，anan1，anan1，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，等都是等差数列，公差分别为2d,2d,2d,0,9d.(2)若kn成等差数列，则akn也成等差数列这就是说，若等差数列an中项数成等差数列，则对应的项也成等差数列(3)若an、bn为等差数列，则ank、kan(k0)、anbn仍为等差数列，公差分别为d，kd，d1d2.,【错因】对题意理解不全面，将题设误解为a101，而忽视了“a10是第一个比1大的项”，即“a91”，从而造成条件遗漏,练考题、验能力、轻巧夺冠,
