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1、1,函数的和、差、积、商的微分,小结 思考题 作业,3.2 函数的求导法则,第3章 导数与微分,反函数的微分与求导法则,基本求导法则与导数公式,复合函数的微分与求导法则,与求导法则,2,定理3.3,并且,则它们的和、差、积、商,在点 x处也可微,一、函数的和、差、积、商的,如果函数u(x),v(x)都在点x处可微,微分与求导法则,证(1),可得,可微的定义,证毕.,自己证,3,证,导数的定义,证毕.,4,证,由(2)乘积的导数公式,得,故,特别,即,5,推广,且,若u、v、w在点x处均可微,在同一点x处也可微,在法则(2)中,6,例,解,例,解,因为,函数和、差的求导法则,函数乘积的求导法则,
2、7,例,解,同理可得,所以,函数商的微分法则,8,例,解,同理可得:,即,函数商的求导法则,9,例,证,由于斜率相等,知二切线平行.,(1)求交点,分别为曲线在A,B点的切线斜率.,(2)求导数,所作的曲线的切线彼此平行.,注,在进行求导运算中,且也能提高结果的准,这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.,10,或,定理3.4,且,二、反函数的微分与求导法则,可微,证,由,得到,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,所以,定理的结论成立.,11,例,解,单调、可微,直接函数,反函数,同理可得,因为,所以,12,例,解,单调、可微,直接函数,反函数,同理可得,因为,所以,13,如果利用三角学
3、中的公式:,也可得公式,也可得公式,14,定理3.5,链导法则,且,或,而,则复合函数y=f g(x),如果函数u=g(x)在点 x 可微,y=f(u)在点u=g(x)可微,在点x可微,三、复合函数的微分与求导法则,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,证,得到,证毕.,15,推广,16,因为,所以,求函数,例,解,17,例,解,因为,所以,18,例,解,例,解,19,例,解,例,解,20,练习,考研数学四,4分,解,21,练习,解,22,1.常数和基本初等函数的导数公式,基本求导、微分法则,四、导数、微分公式与,23,2.常数和基本初等函数的微分公式,2
4、4,25,3.函数的线性组合、积、商的求导法则,都可导,则,4.函数的和、差、积、商的微分法则,26,5.反函数的求导、微分法则,或,且,可微,或,27,链导法则,且,或,而y=f(u)在点,则复合函数y=f g(x)在点x可微,如果函数u=g(x)在点 x 可微,u=g(x)可微,6.复合函数的求导与微分法则,初等函数的导数仍为初等函数.,利用上述公式及法则初等函数求导问题可,完全解决.,28,解,练习,29,例,解,所以,30,解,则,上式中,是函数 f,对括号中的中间,变量求导,?,不表示 f 对x的导数.,例,31,解,练习,32,解,练习,分析,这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及,复合函数求导法则.,33,答案,练习,练习,解,34,练习,设函数,解,设,35,(注意成立条件);,复合函数的求导与微分法则,五、小结,不能遗漏);,(对于复合函数,反函数的求导与微分法则,注意一层层的复合结构,函数的积、商求导与微分法则,注意,记住基本初等函数的导数、微分公式.,36,思考题(是非题),非,例如,处处可导,处不可导,但复合函数,处处可导.,37,作业,习题3.2(62页),
