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1、第七章 一 阶 电 路,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其 VAR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,1、动态电路,电阻、电容和电感电路在换路时的表现。,1)电阻电路 图6.1（a）所示的电阻电路在 t=0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流 i 随时间的变化情况如图6.1（b）所示，显然电流从t0时的稳定状态直接进入t0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。,图 6.1（a）,图 6.1（b）,2)电容电路 图 6.
2、2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=0。t=0 时合上开关，电容充电，接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=US。电流 i 和电容电压uC 随时间的变化情况如图6.2（c）所示，显然从t0 时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。,图 6.3（a）（b）（c）,3)电感电路 图 6.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电感电压满足：i=0，uL=0。t=0 时合上开关。接通电源很长
3、时间后，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电感电压满足：i=0，uL=US/R。电流 i 和电感电压uL 随时间的变化情况如图6.3（c）所示，显然从t0时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。,图 6.3（a）（b）（c）,从以上分析需要明确的是：1)换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；2)含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成；3)代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。,2.动态电路的方程,分析
4、动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容：一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。,设 RC 电路如图 所示，根据 KVL 列出回路方程为：,由于电容的 VCR 为：,从两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：,若以电流为变量，则有：,对以上方程求导得：,1）RC 电路,设 RL 电路如图 所示的，根据 KVL 列出回路方程为：,由于电感的 VCR 为：,以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：,若以电感电压为变量，则有：,对以上方程求导得：,2）RL 电路,根据 KVL 和电容、电感的 VAR
5、可得方程为：,整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：,3）RLC电路,考察上述方程可得以下结论：,（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有 n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶电路；（3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：,描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程：,描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程：,高阶电路的方程是高阶微分方程,方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。,动态电路的分析要点,1、解微分方程2、分解的观点,7.1 分解方法在动态电路分析中的应用,7.2 一阶
6、微分方程的求解,7.3 零输入响应,7.4.零状态响应,7.5 线性动态电路的叠加定理,7.6 三要素法,7.7 阶跃函数和阶跃响应,7.8 一阶电路的子区间分析,7.1 分解方法在动态电路分析中的应用,1、利用等效（戴维南定理或诺顿定理）的概念简化电路2、列写电路的状态方程3、解方程求电容电压或电感电流4、利用置换定理，用电压源或电流源置换电容电压或电感电流，使原电路成为一个纯电阻电路，运用电阻电路的分析方法求解电路的其余支路变量。,1、直接积分法2、猜试法,7.2 一阶微分方程的求解,猜试法求解一阶微分方程：,1）齐次方程通解：,2）非齐次方程特解：W=Q 常数,3）K确定：,常系数非齐次
7、一阶微分方程,由初始条件解出K,通解答为：,若已知初始条件：,则带入通解式得：,从而可以解得K的值。,P55 例7-1P56 练习题7-1，7-2,1、什么叫一阶电路？,1）用一阶微分方程描述其变量的电路。,2）只含一个动态元件(C、L)的电路。如：,7.3 零输入响应,电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。,2、什么是零输入响应？,输入为零，且 初始状态为零则响应为零,一、RC 电路的零输入响应,（输入为零）,图(a)所示电路，开关原来在1端，电容电压已经达到U0，在t=0时开关由1端转换到2端，如图(b)求：uC(t)；iC(t),t 0,t
8、0 充电,t=0 换路,t0 放电,若把电路发生换路的时刻记为 t=0 时刻，则换路前一瞬间记为0，换路后一瞬间记为0。,由于电容电压和电感电流是时间的连续函数，从而有：,以上式子称为换路定律，它表明：1）换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。,1.定性分析,结论：通过定性分析，我们可以得到图示的电压电流的大致变化曲线。,要想得到确切的响应曲线，还需要经过定量分析。,建立图(b)电路的一阶微分方程,其解为：,根据初始条件：,齐次方程通解：,2
9、.定量分析,最后得到电路的零输入响应为,3、有关概念 时间常数：=RC。它决定了 UC 衰减的快慢。RC 大，表示衰减的慢;RC 小，表示衰减的快。,以 为例，说明电压的变化与时间常数的关系,当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过45的时间就可以认为放电过程基本结束。,固有频率：即系统的特征根。当系统的特征根为负实数时，电路的零输入响应总是按指数规律衰减。,换 路：电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。,过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。,时间常数：=RC 它决定了 uC 衰减的快慢 RC 大，表示衰减
10、的慢;RC 小，表示衰减的快。,电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为：,换路定律：,二、RL 电路的零输入响应,已知 iL(0)=I0，求 iL(t),uL(t),t 0,解：1.定性分析,t 0 储磁场能,t=0 换路,t0 衰减到零,列出KCL方程，得到微分方程,通解为,代入初始条件iL(0+)=I0求得,最后得到,三、结论：,RC电路（或RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。2 表达式：,X(0+)初始值 时间常数,衰减的快慢取决于时间常数。时间常数具有对偶性。=RC；=L/R其中，UC(0+)和IL(0+)根据其连续性判别，其余各个分量的初始值则由0+时刻
11、的KCL和KVL判别。零输入响应和初始状态呈现出比例性。,P62 思考题 7-1,例1：电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t 0时uC(t)、iC(t)、iR(t)。,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为,电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t),例2：,已知 uC(0+)=18V,求：uC(t),i1(t),t 0。,例3：已知i(0+)=2A,求：i(t),u(t),t 0,作业：3，4，7,7.4.零状态响应,零状态响应定义：电路中动态元件的
12、初始状态为零，电路只在外加激励作用下产生的响应。,一、一阶RC电路的零状态响应,电路原处于稳态，t=0时开关打向电源端，求uC(t),i(t),t 0。,1.定性分析：,t 0 无响应,t=0 换路,t0 电路达到直流稳态,注意：和教材中的电路图进行比较。,各分量的基本波形如下：,2.定量分析,其解为：,根据初始条件：,通解：,特解：,代入原方程解得：,1）uC(t)的零状态响应是从零按指数规律 上升到它的稳态值 uC();,O,2）当t4,uC()=Us是电容 C 开路时 uC 的值。,表示为iC=0，,求电流：,二、RL电路的零状态响应,求 iL(t),uL(t),t 0,1.推测电感电流
13、的响应表达式及响应规律：,1）iL 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL()。当t4，iL()=IS,是电感短路时的值。,2）iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间 常数（=L/R）。越小，上升越快。,.定量分析,则：,解得：,三、结论：,uC(t)和iL(t)的零状态响应是从零按指数 规律上升到它的稳态iL()；iC(t)和uL(t)是按指数规律衰减到零。2.状态量：（初始状态为零对应的变量）,X()稳态值;时间常数,3.非状态量：iC(t)和 uL(t)。,求解方法：先求状态量，再求非状态量。,例1 电路如图(a)，已知 uC(0-)=0。t=0 打开开关，求：t0的uC(
14、t)，iC(t)及电阻电流 i1(t)。,解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b),电路的时间常数为,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得,根据图（a）所示电路，用KCL方程得到,例2 电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求：t0的iL(t)，uL(t)，i(t)。,解：电感电流不能跃变，即,将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c),注意：以上规律是在直流激励的作用下得到的，如果是非直流输入，则只能选择求解微分方程的方法，先求出电感电流或电容电压，然后利用置换定理求出其它支路的响应分量。P73 例
15、7-6,作业：12，15，18,叠加定理：适用于任何线性电路。考虑：在动态电路中，除了独立源是一种激励外，动态元件的初始状态也可看作为一种激励。利用线性电路的叠加性，则电路的完全响应应该是各个激励单独作用是所引起响应的叠加。事实是否如此？,7.5 线性动态电路的叠加定理,一、一阶RC电路的完全响应：由动态元件的初始储能和外施激励 共同引起的响应，称为全响应。,例：已知电路如图(a)所示，uC(0-)=U0，t=0 时开关倒向2端。求：uC(t),t 0。,以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)电路微分方程,其解为,代入初始条件,求得,于是得到电容电压表达式：,结论：线性动态电路中任一支路电压
16、或电流的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。,uC(0+),例题：P80 例7-7,二、线性动态电路响应的齐次性,以RC电路为例1.零输入响应：U0增大K倍，UC也会增大K倍。2.零状态响应：US增大K倍，UC也会增大K倍。3.完全响应：必须U0和 US同时增大K倍，UC才增大K倍。,P79：思考题,三、全响应的三种分解方式：,1.全响应=零输入响应+零状态响应,新名词：1、固有频率：2、固有响应：3、暂态响应：4、强制响应：5、稳态响应：,2.全响应=暂态响应+稳态响应,3.全响应（全解）=通解+特解,第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指
17、数规律衰减到零，也称为暂态响应。,第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。当 t时uC(t)=uCp(t)也称为稳态响应。,从响应表达式上看：,固有响应：与输入无关，由电路本身决定。,暂态响应：在过渡过程(0-4)的响应。,强制响应：与外加激励有关。,稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。,注意,例题：P81例7-7（法二）P81 例7-8（自己看）,作业：19，22，25（上交）26，27，28，29（课下自己做）,7.6 三要素法,一、直流一阶电路状态变量响应的特点,电容电压：,电感电流：,一般式：,二、直流一阶电路非状态变量响应的特点,已求得电容电压：,则电
18、容电流：,电阻电压：,同样满足一般式：,猜想：,任意的一阶直流电路，其任意支路的电压或电流的全响应可以由以下三个要素直接求出。,初始值,三个要素：,稳态值,时间常数,三要素法证明：P86-P87,三、三个要素的求解步骤,2.求初始值 f(0+),由 换路定律：uC(0+)=uC(0)或iL(0+)=iL(0)和置换定理得到 0+时刻的等效电路，从而求出待求量的初始值f(0+),3.求稳态值 f(),画 t=时的等效电路：将 电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出 f()。,1.画 t=0-时的等效电路，求 uC(0)或 iL(0),4.求时间常数,先求输出电阻R0，,=R0C,先求 R0
19、,5.根据三要素公式得出全响应,例1：已知 t 0 时电路已处于稳态，求 uC(0+),i1(0+),i2(0+)。,解：1）.先求 uC(0)：,画t=0等效电路,2）.再求 i1(0+),i2(0+)：,画t=0+等效电路,例2：已知 t 0 时电路已处于稳态，求i1(0+),iL(0+),uL(0+)。,解：1.先求 iL(0)：,2.再求 i1(0+),uL(0+),例3 图(a)所示电路处于稳定状态。t=0时开关闭合，求：t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。,解：1.求uC(0+),2.求uC()，电容开路，运用叠加定理求得,3.求：计算与电容相连接的电阻单口网络ab
20、 的输出电阻，它是三个电阻的并联,a,b,4.代入三要素一般表达式,求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得,也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和,由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到,值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t0，而不是t0。,电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得,例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求：t0时的电感电流 iL(t)，电阻电流i2(t)
21、，i3(t)和电感电压uL(t)。,解：1.求iL(0+)：开关转换前，电感相当于短路,2.求iL()：,3.求：,4.计算iL(t)，uL(t)，i2(t)和i3(t)。,例5：图(a)所示电路，在t=0时闭合开关，求：电容电压 uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。,解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图(c)所示的戴维南等效电路代替，其中,用外施电源法求图(b)单口网络的输出电阻Ro,时间常数为,代入三要素公式得到,从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t),1,1,1,+,_,+,_,2V,2i1,0.8F,i1,t=0,例 6,已知 t 0 时电路已处于稳态,求 i1(
22、t),t 0,解：令：,.,.,由、可得：,所以初始储能为20时，激励为 时的全响应：,(1)当 x(0+)x(),则其波形为由其初始值按指数规律下降到其稳态值，即,一般式,五、利用三要素作出响应波形,(2)当 x(0+)x()时，则其波形为由其初始值按指数规律上升到其稳态值，即,例：P91 例7-11,作业：32，33，35,作业：40，41，42，43,7.7 阶跃函数和阶跃响应,二、阶跃函数的作用：1)代替开关,2)分段常量信号可表示为一系列阶跃信号之和,分段常量信号：一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形。,三、阶跃响应,1、定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。电路在单位阶跃信号作用下的零
23、状态响应，称为单位阶跃响应，记作S（t）。,=RC,US,非时变性的表现,2、阶跃响应的特点,首先，记单位阶跃响应为S（t)1）比例性：若阶跃信号的幅度增大K倍，则响应也增大K倍，即为：KS（t)。2）非时变性：若阶跃信号有延时t0，则响应也会有相应的延时，即为：S（t-t0)。3)叠加性：,3、分段直流信号作用下一阶电路的响应,例1：已知p(t)波形，求uC,解一：uC(0)=0 0-t0 充电 t t0 放电,p(t),o,t0,t,US,对 p(t)：,对p(t)：,例2 已知：uS(t)=5(t2)V，uC(t)=10V,t 0,3.68,求：uC(t),i(t),t 0,例3 已知
24、NR 是只含电阻的电路，并知 uC的单位阶跃响应为：,V,求：在同样的激励情况下，若 uC(0)=2V 时的 uC(t)和 uR(t)。,V,例4 图示RC分压器电路模型，试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。,解：由于将图(a)电路中的电压源用短路代替后，电容C1 和C2并联等效于一个电容,现在计算初始值uC2(0+)。在t0时，(t)=0，电路处于零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下KVL方程,上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一电容所失的电荷必为另一电容所得,在t0时，该电路是
25、由1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当t电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为,用三要素公式得到输出电压的表达式为,由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容C1可以得到三种情况：当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；当R1C1R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿。,7.8 一阶电路的子区间分析,解：(一)当 T 时,例：已知 uC(0)和uS(t),求 uC(t),t 0,(二)当 T 或 T 时,本 章 小 结,1 掌握以下概念：,零输入响应、零状态响应、全响应、暂态、稳态、换路、过渡过程,2 全响应求解方法：,1）全解=通解+特解,2）全响应=零输入响应+零状态响应,3）熟练掌握一阶电路的三要素法。,3 会分析计算一阶电路的阶跃响应。,
