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1、第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,重点,一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；,一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。,1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,特点：,1.动态电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,例,过渡期为零,电阻电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uC=0,i=0,uC=Us,K接通电源后很长时间,电容充电完毕,电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期
2、,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uC=0,i=0,uC=Us,K动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态,有一过渡期,第三个稳定状态,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uL=0,uL=0,i=Us/R,K接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uL=,uL=0,i=Us/R,K断开瞬间,注意工程实际中的过电压过电流现象,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结
3、构、状态发生变化,换路,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,2.动态电路的方程,一阶电路,应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,二阶电路,若以电流为变量：,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,(1)描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,(2)动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程,复频域分析法,时域分析法,（2）求解微分
4、方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,稳态分析和瞬态分析的区别,稳态,瞬态,(1)t=0与t=0的概念,认为换路在 t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3.电路的初始条件,初始条件为 t=0时u，i 及其各阶导数的值,0,0,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程：,得通解：,代入初始条件得：,说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,t=0+时刻,当i()为有限值时,q(0+)=q(0),uC(0+)=uC(0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不
5、变。,(2)电容的初始条件,电荷守恒,结论,当u为有限值时,L(0)=L(0),iL(0)=iL(0),(3)电感的初始条件,t=0+时刻,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,（4）换路定律,(1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意:,换路瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感电流(磁链)换路前后保持不变。,换路瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容电压(电荷)换路前后保持不变.,(2)换路定律反映了能量不能跃变。,5.电路初始值的确定,(2)由换路定律,uC(0+)=uC(0)=8V,(1)由0电路求 uC(0)或iL(0)
6、,uC(0)=8V,(3)由0+等效电路求 iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,iL(0+)=iL(0)=2A,例 2,t=0时闭合开关k,求 uL(0+),先求,由换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a.换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,iL(0+)=iL(0)=IS,uC(0+)=u
7、C(0)=RIS,uL(0+)=-RIS,求 iC(0+),uL(0+),例3,解,由0电路得：,由0电路得：,例3,求K闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由0电路得：,由0+电路得：,例4,求K闭合瞬间流过它的电流值。,解,（1）确定0值,（2）给出0等效电路,7.2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,1.RC电路的零输入响应,已知 uC(0)=U0,零输入响应,代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0,A=U0,特征根,则,令=RC,称为一阶电路的时间常数,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;,从以上各式可以得出：,连续函数
8、,跃变,(2)响应与初始状态成线性关系,其衰减快慢与RC有关;,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=R C,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（C一定）i=u/R 放电电流小,C 大（R一定）W=Cu2/2 储能大,物理含义,工程上认为,经过 35,过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,t1时刻曲线的斜率等于,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,次切距的长度,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设uC
9、(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压,求K闭合后,电容电压和各支路电流随时间变化的规律.,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,2.RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值 i(0+)=I0,A=i(0+)=I0,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;,令=L/R,称为一阶RL电路时间常数,L大 W=Li2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时
10、间的长短,=L/R,电流初值i(0)一定：,(2)响应与初始状态成线性关系,其衰减快慢与L/R有关;,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,iL(0+)=iL(0)=1 A,例1,t=0时,打开开关K，求uv。,现象：电压表坏了,电压表量程：50V,解,例2,t=0时,开关K由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比,称为零输入线性。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2.衰减快慢取决于时间常数 RC
11、电路=RC,RL电路=L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。,7.3 一阶电路的零状态响应,零状态响应,列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,1.RC电路的零状态响应,齐次方程通解,非齐次方程特解,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,的通解,的特解,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数 A,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出
12、:,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。,（3）响应与外加激励成线性关系;,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时,开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t。,解,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,2.RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,例1,t=0时,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律。,解,
13、这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例2,t=0时,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,7.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,解答为 uC(t)=uC+uC,uC(0)=U0,以RC电路为例，电路微分方程：,=RC,1.全响应,全响应,uC(0+)=A+US=U0,A=U0-US,由起始值定A,2.全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),（1）着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应
14、=零状态响应+零输入响应,零状态响应,零输入响应,(2).着眼于因果关系,便于叠加计算,例1,t=0时,开关K打开，求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳态分量：,全响应：,A=4,例2,t=0时,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是一个RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,全响应：,A=10,3.三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,令 t=0+,其解答一般形式为：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,直流激励时：,解,例2,t=
15、0时,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素为：,应用三要素公式,三要素为：,例3,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t)。,解,三要素为：,例4,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。,解,三要素为：,已知：电感无初始储能 t=0 时合k1,t=0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,(0 t 0.2s),(t 0.2s),7.5 二阶电路的零输入响应,uc(0+)=U0 i(0+)=0,已知：,1.二阶电路的零输入响应,若以电容电压为变量：,列电路方程：,若以电感电流为变量：,特征方程：,电路方程：,以电容电压为变
16、量时的初始条件：,uc(0+)=U0,i(0+)=0,以电感电流为变量时的初始条件：,i(0+)=0,uc(0+)=U0,2.零状态响应的三种情况,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,特征根：,U0,设|P2|P1|,t=0+ic=0,t=i c=0,ic0 t=tm 时ic 最大,tm,2tm,uL,ic,iC=i为极值时的tm即uL=0时的 t,计算如下:,由duL/dt可确定uL为极小时的 t.,能量转换关系,0 t tm uc减小，i 增加。,t tm uc减小，i 减小.,特征根为一对共轭复根,uc的解答形式：,经常写为：,A，为待定常数,，间的关系:,t=0时 uc=U0,uc零点：t=-，
17、2-.n-,ic,uL零点：t=，+，2+.n+,ic零点：t=0，2.n，为 uc极值点 ic极值点为uL零点。,能量转换关系：,0 t,t-,-t,ic,特例：R=0时,等幅振荡,解出：,小结：,定常数,可推广应用于一般二阶电路,电路如图，t=0时打开开关。求uc,并画出其变化曲线。,解,（1）uc(0)=25V iL(0)=5A,特征方程为：50P2+2500P+106=0,iL,（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：,(3),例2,左图为RC振荡电路，讨论k取不同值时u2的零输入响应。,对节点A列写KCL有：,KVL有：,两边微分整理得：,特征方程为：,特征根为：,|3-k|2,1
18、k 5为振荡情况,7.6 二阶电路的零状态响应和全响应,1.零状态响应,uc(0)=0,iL(0)=0,微分方程为：,特解,通解,特解:,求通解的特征方程为；,uc解答形式为：,例,求所示电路 i 的零状态响应。,i1=i 0.5 u1,=i 0.5(2 i)2=2i 2,由KVL：,整理得：,二阶非齐次常微分方程,第一步列写微分方程,解,第二步求通解i,特征根为：P1=2，P2=6,解答形式为：,第三步求特解 i”,稳态模型,由稳态模型有：i=0.5 u1,u1=2(20.5u1),i=1A,第四步定常数,由0+电路模型：,2、二阶电路的全响应,已知：iL(0)=2A uc(0)=0,求：i
19、L,iR。,(1)列微分方程,(2)求特解,解,(3)求通解,特征根为：P=-100 j100,(4)定常数,特征方程为：,(5)求iR,或设解答形式为：,定常数,小结：,(1)二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常 微分方程所描述的电路。,(2)二阶电路的性质取决于特征根，特征根取 决于电路结构和参数，与激励和初值无关。,(3)求二阶电路全响应的步骤,(a)列写t 0+电路的微分方程,(b)求通解,(c)求特解,(d)全响应=强制分量+自由分量,7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,1.单位阶跃函数,定义,单位阶跃函数的延迟,t=0 合闸 i(t)=Is,在电路中模拟开关的动作,t=0 合闸
20、 u(t)=E,单位阶跃函数的作用,起始一个函数,延迟一个函数,用单位阶跃函数表示复杂的信号,例 1,例 2,例 4,例 3,例 5,已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。,2.一阶电路的阶跃响应,激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。,阶跃响应,注意,激励在 t=t0 时加入，则响应从t=t0开始。,-t,不要写为：,注意,求图示电路中电流 iC(t）,例,应用叠加定理,阶跃响应为：,由齐次性和叠加性得实际响应为：,分段表示为：,分段表示为：,2.二阶电路的阶跃响应,对电路应用KCL列结点电流方程有,已知图示电路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求单位阶跃响应 iL(
21、t）,例,解,iS,代入已知参数并整理得：,这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为,特解,特征方程,通解,解得特征根,代初始条件,阶跃响应,电路的动态过程是过阻尼性质的。,7.8*一阶电路和二阶电路的冲激响应,1.单位冲激函数,定义,单位脉冲函数的极限,单位冲激函数的延迟,单位冲激函数的性质,冲激函数对时间的积分等于阶跃函数,冲激函数的筛分性,同理,例,f(t)在 t0 处连续,注意,uc不是冲激函数,否则KCL不成立,分二个时间段考虑冲激响应,电容充电，方程为,例1,2.一阶电路的冲激响应,激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。,冲激响应,求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应
22、。,解,注意,电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。,结论,(2)t 0+为零输入响应（RC放电）,例2,求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。,分二个时间段考虑冲激响应,解,iL不是冲激函数,否则KVL不成立。,注意,电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。,结论,(2)t 0+RL放电,3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激,(t),单位阶跃,(t),激励,响应,先求单位阶跃响应：,求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).,例,解,uC(0+)=0,uC()=R,=RC,iC(0+)=1,iC()=0,再求单位冲激响应
23、,令：,令,冲激响应,阶跃响应,有限值,有限值,KVL方程为,例,4.二阶电路的冲激响应,求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。,解,t 在0至0间,t0+为零输入响应,7.9*卷积积分,1.卷积积分,定义,设函数 f1(t),f2(t)t 0 均为零,性质,令=t-d=-d：0 t:t 0,证明,2.卷积积分的应用,将激励 e(t)近似看成一系列具有相同宽度的矩形脉冲的叠加，,若,冲激响应,则,物理解释,若单位脉冲函数 p(t)的零状态响应为 h(t),第1个矩形脉冲,第k个矩形脉冲,根据叠加定理，t 时刻观察到的响应应为 0 t 时间内所有激励产生的响应的和,例1,先求电路的冲激响
24、应 h(t),解,uC()=0,再计算 时的响应 uC(t),例2,解,由图解过程确定积分上下限,移,卷,积,1.网络的状态与状态变量,网络状态,指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。,状态变量,电路的一组独立的动态变量X，X=x1,x2 xnT，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。,7.10*状态方程,状态变量法,借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再知道输入激励e(t)，就可以确定tt0后电路的全部性状(响应)。,注意
25、,这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。,已知:,求：,解,e(0)=10V,例,同理可推广至任一时刻t1,由,(1)状态变量和储能元件有关(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量(3)状态变量的选择不唯一。,表明,设 uc、iL 为状态变量,整理得,每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用直观编写法。,状态方程,2.状态方程的列写,矩阵形式,联立的一阶微分方程组,左端为状态变量的一阶导数,右端含状态变量和输入量,特点,一般形式,电路的输出方程,代数方程 用状态变量和输入量表示输出量,一般形式,Y=CX+DV,特点,电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系,例
26、,列出电路的状态方程,解,对结点列出KCL方程,对回路1和回路2列出KVL方程,把以上方程整理成矩阵形式有,若以结点、的电压作为输出，则有,整理并写成矩阵形式有,1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系,动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。,7.11*动态电路时域分析中的几个问题,当一个网络中存在纯电容回路，由KVL可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。,例,当网络中存在纯电感结点，由KCL可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非独立的。,网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压uC由uS决定。,网络
27、中与独立电流源串联的电感元件，其iL由iS决定。,以上四种请况中非独立的uC和iL不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于C、L元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中C、L元件总数，下面着重讨论常态网络。,2.动态电路中初始值的计算,对于通常电路，初始值由下面关系确定,在下面情况下,换路后的电路有纯电容构成的回路，或有由电容和独立电压源构成的回路，且回路中各个电容上电压值uC(0-)的代数和不等于该回路中各个电压源初始值的代数和。,换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），且结点上各电感的电流值iL(0-)与电流源电流的初始值的代数和不等于零，,在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即,或,或,
