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1、33 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）,对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：原型变换 映射变换 原型变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各
2、类数字滤波器的设计,模拟原型,模拟低通、高通带通、带阻,数字低通、高通带通、带阻,下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。一低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。2）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的 临界频率值k。3）根据k设计模拟滤波器的Ha(s)4）把Ha(s)变换成 H(z)（数字滤波器传递函数）,例1,设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解：a.脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线
3、性的，所以可直接按c=2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率c 归一化的三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：以 代替其归一化频率，得：,也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以 代替归一化频率，即得。将 代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。,为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的 根，将上式写成部分分式结构：对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：,-极点,并将 代入，得：合并上式后两项，并将 代入，计算得：,可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（
4、Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。最后得：例如，与 的数字滤波器具有相同的传递函数,这一结论适合于所有的数字滤波器设计。,b.双线性变换法 P85例4（一）首先确定数字域临界频率（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。,图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响,脉冲响应不变法,双线性变换法,fs/2,0,200,
5、400,600,800,1000,1200,1400,1600,1800,2000,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,频率/Hz,图3.14 三阶巴特沃兹滤波器的频率响应,幅值,图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折 叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。,二.高通变换 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：先设计一个相应的高
6、通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型 模拟高通、带通、带阻 数字高通、带通、带阻 设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定 转换为相应的 高通、带通、带阻 模拟滤波器的设计 Ha(s)H(Z)直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换 模拟原型 数字低通、高通、带通、带阻,这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。变换方法的选用：脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只 能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使 用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响 应不变法要有许多
7、特殊的考虑，它一般应用 于第一种方法中。双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况 也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计：在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器.即,由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。即,如图,映射到 即 映射到 即 图1 高通变换频率关系 这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。,
8、1.0,1.0,0,图2 高通原型变换,应当明确：所谓高通DF，并不是高到，由于数字频域存在 折叠频 率，对于实数响应的数字滤波器，部分只是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用,不必加负 号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。,例,：采样 设计一个三阶切比雪夫高通DF，其通过频率（但不必考虑 以上的频率分量），通带内损耗不大于1dB。解：首先确定数字域截止频率,则 切比雪夫低通原型的模函数为：为N阶切比雪夫多项式,通带损耗 时，N=3时,系统函数为（可由MATLAB计算获得
9、）：,为方便，将 和 S 用T/2归一化，则,于是,图3 三阶切比雪夫高通频响,例5（书上）设计一数字高通滤波器，它的通带为400 500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。确定最小阶数 N。模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为 求得最小的N：,wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinea
10、r(B,A,1000);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid;xlabel()ylabel(幅度/dB),三带通变换 如图1,如果数字频域上带通的中心频率为，则带通变换的目的是将:（频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性）。即将S的原点映射到，而将 点映射到，满足这一要求的双线性变换为：,模拟低通,图1 带通原型变换,当 时 因此（带通变换关系）,图中 点正好映射在 上，而 映射在，两端，因此满足带通变换的要求。,带通变换的频率关系,稳定性证明：同时，这一变换也满足稳定性
11、要求，设 由于上式完全是实数，所以是映射在S平面 轴上。其中分子永远非负的，因此 的正负决定于分母由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，如图1。,设计：设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率 作为设计要求。为了应用以上变换，首先要将上下边带参数 换算成中心频率 及模拟低通截止频率。为此将 代入变换关系式：由于 在模拟低通中是一对镜象频率，代入上面两等式，求出,例,又 同时也就是模拟低通的截止频率，有了这两个参数就可完成全部计算。：采样 fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=9
12、0kHz,f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。解：确定数字频域的上下边带的角频率求中心频率：,求模拟低通的通带截止频率 与阻带边界频率：从 频率增加了约1.05倍，衰减增加了（10-3）dB，故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标（查表）归一化的系统函数：代入，代入变换公式,例6 带通滤波器设计,四带阻变换 把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。,给定,例7 w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1,w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(50,150
13、,-30,10);grid;xlabel(频率/Hz)ylabel(幅度/dB),3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法）,上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。DF低通原型函数 这种变换是由 所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的 Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：,各种DF的 H（z）,于是，DF的原型变换可表为：,函数 的特性：1)是 的有理函数。2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求 u的单位圆内部必须
14、对应于z的单位圆内部。3）必须是全通函数。为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以 分别表示u平面和Z平面的单位圆，则式为 且必有，其中 是 的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。,全通函数的基本特性：,任何全通函数都可以表示为：其中 为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。的所有零点 都是其极点的共轭倒数 N：全通函数的阶数。变化时，相位函数 的变化量为。不同的N和 对应 各类不同的变换。,下面具体讨论几种原型变换：低通低通（LP）LPLP的变换中，和 都是低通函数，只是截止频率互不
15、相同（或低通滤波器的带宽不同），因此当 时，相应的，如图1(a)，根据全通函数相位 变化量为 的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必须满足以下两条件：g(1)=1,g(-1)=-1 满足以上要求的映射函数应为：其中 是实数，且,图1(a)LP-LP变换（有对称性）,代入（1）式，可得到上述变换所反映的频率变换关系：由此得 上式把，。频率特性:呈线性关系，其余为非线性。当 时，带宽变窄，当 时，带宽变宽，适当选择，可使 变换为，如上图所示。:低通原型截止频率，:变换后截止 频率,LP-LP频率变换,图 LP-LP频率变换特性,确定：把变换关系 带入（2）式，有：得（2）式的 频率关系，如前图,
16、LP-HP a.基本思想：上述 LP 变换中的Z代以Z,则 LP=HP。,b.高通变换,或,LP-HP变换把,如图2（a），,在上述LP-LP 变换中，将 Z代以Z,得 LP-HP变换关系：,原型低通的截止频率 对应于高通的边界频率，欲将 变换到，由（2）式，有：,LP-Hp变换,图2(a)LP Hp变换,LP-BP LP-BP变换把带通的中心频率 故 N=2。由以上分析得变换关系：或,如图3(a),全通函数取负号。,LP-BP变换,图3(a)LP-BP变换,把变换关系 代入（2）式得：消去 r1，得：令,确定r1,r2：,可证明，其中 r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b
17、）。,LP-BP频率关系,LPBS 如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率 的变化范围为,故 N=2 又 g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：（1）或（2）,LP-BS变换,图4(a)LP-BS变换,确定r1,r2：把变换关系 代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。,LP-B S频率变换关系,LP-BS变换的又一种实现方法:由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用的方式由低阻到带阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带通公式求,最后可求得,如书中表格内表达式。,低通,
