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1、2.1曲线与方程,高二数学 选修2-1,第二章 圆锥曲线,点的横坐标与纵坐标相等,x-y=0,第一、三象限角平分线,曲线,条件,方程,得出关系：,曲线和方程,(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0.,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上,为什么?,为什么?,(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为,圆C,平面内，到定点C(a,b)的距离等于定长r,曲线,条件,方程,得出关系：,（1）圆上点的坐标都是方程 的解.,（2）以方程 的解为坐标的点都在圆上.,说圆C的方程是,定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f
2、(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.,通俗地说：无点不是解且无解不是点,1.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,2.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,解释：,曲线和方程,练习：解答下列各题时，说出依据是什么？点M1(5,0)、M2(1,5)是否在方程为x2+y2=25的曲线上？
3、已知方程为x2+y2=25的曲线过点M3(m,3)，求m的值。,如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是,f(x0,y0)=0,例1:证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,证明：,（1）设M(x0,y0)是曲线C上任一点.,因为点M与x轴的距离为,与y轴的距离为，所以,即(x0,y0)是方程xy=k的解.,（2）设点M1(x1,y1)是方程xy=k的解.则,x1y1=k，,即,而 正是点M1到纵轴，横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线的点.,由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是xy=k.
4、,无点不是解,无解不是点,例2:判断下列命题是否正确,解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确,应为y=1.(3)正确.(4)不正确,应为x=0(-3y0).,(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为xy=1(4)ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0,练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线
5、C是顶点在原点的抛物线其方程为;,(3)曲线C是,象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为;,练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？,C,练习3:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(),A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上,练习4:已知方程 的曲线经过点,则 m=_,n=_.,例2.设A、B两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.,例3：已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到
6、A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,A.,(0,2）,解：,取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是B，,因为曲线在x轴的上方，所以y0,所以曲线的方程是,B,已知点C的坐标是（2,2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.,课后思考：,课本37面练习3,练习：方程,所表示的曲线是（）,C,（1）命题“曲线C上的点的坐标都是方程 的解”是,是命题“方程 所表示的曲线是C”的 条件。,思考：,必要非充分,（2）命题“以方程,的解为坐标的点都是曲线C上的点”,的曲线”的 条件。,是命题“曲线C是方程,必要非充分,解:,练习1.,B,3.,这就是所求的轨迹方程.,B,3.,这就是所求的轨迹方程.,
