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1、,第五节,一、曲面方程的概念,二、几种常见的曲面及其方程,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解 设轨迹上的动点为,轨迹方程.,1.定义,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,水桶的
2、表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面的实例：,例1,故所求方程为,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面.,求动点到定点,例2,解 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,2.两个基本问题,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,以M0(x0,y0,z
3、0)为球心，R 为半径的球面方程为,二、几种特殊的曲面及其方程,2.球面,3.旋转曲面,1.平面,旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,如图，,代入,转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：,得旋转曲面 的方程：,绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：,出现某两变量的平方和.,(3)常见的旋转曲面,圆柱面：,圆锥面,直线 L 绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,叫圆锥面的半顶角.,两直线的夹角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,(0,绕z 轴旋转一周
4、所得的圆锥面方程：,双叶双曲面,单叶双曲面,绕z轴旋转而成的曲面：,旋转双曲面,双叶双曲面,单叶双曲面,解,例3,过点 M 作垂直于z 轴,的平面，它与所给直线 L的交点为,故所求旋转曲面方程为:,旋转单叶双曲面,注,一般地，旋转单叶双曲面,还可成是由直线,或,绕z轴旋转而成.,因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.,旋转椭球面,绕 y 轴旋转而成的曲面：,旋转椭球面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,(1)定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,4.柱面,注,柱面的准线不
5、惟一.,(2)母线平行于坐标轴的柱面方程的特征,方程中缺少一个变量(该坐标轴的变量),如：,表示母线/z 轴的柱面.,事实上，,过点M 作垂直于 xoy 面的垂线，,则此垂线与 C的交点M1(x,y,0)的坐标必满足：,反之，不在上的点M，其在 xoy 面上的投影点M1不在C上，从而其坐标不满足该方程.,M,M1,类似地，,表示母线/x 轴的柱面.,表示母线/y 轴的柱面.,小结：,（其他类推）,常见的二次柱面,椭圆柱面,母线/轴,双曲柱面,母线/轴,抛物柱面,母线/轴,特殊柱面：平面,内容小结,1.空间曲面,三元方程,2.球面,3.旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,4.柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,(旋转曲面的概念及求法).,(母线、准线).,1.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题,解,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,2.,直线,绕 z 轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程.,解,在 L 上任取一点,设 M(x,y,z)为M0 绕z 轴旋转轨迹上任一点,则有,旋转曲面方程,将 y0=z 代入第二方程，得,备用题例1-1,解,根据题意有,所求方程为,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,例2-1,
