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1、,课题1 有关三角形的证明,数学 九年级/上 单元一,目录CONTENTS,全等三角形等腰三角形等边三角形反证法含30直角三角形创新思考：辅助线课题总结,361314172021,复习：全等三角形,如图，a，b，c分别表示ABC的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是（B）,提示：两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）,（2011江西）如图下列条件中，不能证明ABDACD的是（D）ABDDC，ABACBADBADC，BDDCCBC，BADCADDBC，BDDC,下列判断中错误的是（B）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线
2、对应相等的两个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等,提示：三条边对应相等的两个三角形全等；两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。,复习：全等三角形的性质,若ABCDEF，则有：AB=DE,BC=EF,AC=DF;A=D,B=E,C=F.,性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.,典例分析,两边及夹角对应相等的两个三角形全等,两角及夹边对应相等的两个三角形全等,两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等、对应角相等,三条边对应相等的两个三角形全等,3,4,5,三角形全等的判定,等腰三角形的性质定理的推论（1）,已知：如图，
3、在ABC中，AB=AC.求证：B=C,A,B,C,归纳：等腰三角形的两个底角相等。,等腰三角形的性质定理的推论（2）,在ABC中，AD还具有怎样的性质？,BD=DC ADB=ADCADB+ADC=180ADB=ADC=90BAD=CAD,ABDACD,归纳：“三线合一”等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。,随堂练习,如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1)求证:ABD是等腰三角形；(2)求ABD的度数。,证明（1）ACBD，AC=BC=CD ACB=ACD=90 ACBACD AB=AD ABD是等腰三角形。解（2）ACBD，AC
4、=BC=CD ACB、ACD都是等腰直角三角形。B=D=45 BAD=90,（2011铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（C）A等腰三角形两底角相等B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C等腰三角形是中心对称图形D等腰三角形是轴对称图形提示：依据等腰三角形的有关性质,如图所示，是用两个形状大小完全相同的一个角为30的直角三角形拼成的，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数为（C）A 1个 B 2个C 3个 D 4个,等腰三角形其他性质的证明,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分线.求证:BD=CE.,证明:AB=AC(已知),AB
5、C=ACB(等边对等角).又1=ABC,2=ACB(已知),1=2(等式性质).在BDC与CEB中DCB=EBC（已知）,BC=CB（公共边）,1=2（已证）,BDCCEB（ASA）.BD=CE(全等三角形的对应边相等),1,2,探究：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他结论吗？通过几何语言尝试证明你的结论。,等腰三角形,等腰三角形的性质定理的推论（3）,已知：如图，在ABC中，B=C；求证：AB=AC.提示：构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边,归纳：有两个角相等的三角形是等腰三角形。,小结：等腰三角形性质及其推论,等边对等角,等角对等边,等边三角形,归纳：等边三角形的三个
6、角都相等，并且每个角都等于60定理：三边都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；三个角都等于60的三角形是等边三角形。,已知：ABC中，AB=BC=AC.求证：A=B=C=60,A,B,C,反证法,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这个角也不相等.,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?,即在ABC中,如果ABAC,那么AC.,假设A=C,那么根据“等角对等边”得AB=AC,与已知条件是ABAC相矛盾。因此假设不成立,原命题成立，即AC.,反证法,在证明上题时，先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从
7、而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,随堂练习,如何证明这个结论:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证明:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.,含30角的直角三角形的性质定理,操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
8、,能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.,由此你想到，在直角三角形中,300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？证明你的结论。,结论:在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半.,含30角的直角三角形性质定理的证明,定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,已知:如图,在ABC中,ACB=90,A=30求证:BC=AB.,A,C,B,D,提示：延长BC至D,使CD=BC,连接AD线段的倍、分线段相等,解题步骤证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD ACB=90,(已知),ACD=90(平角意义)在ABC与ADC中BC=DC（作图）ACB=AC
9、D（已证）AC=AC（公共边）ABCADC（SAS）AD=ABACB=90,A=30(已知),B=600(直角三角形两锐角互余).ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BC=BD=AB(等式性质).,随堂练习,创新思考,阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图1所示，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE.求证：ABCD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，如图2所示.请任意选择其中一种，对原题进行证明.,课题总结,全等三角形的判定,等腰（等边）三角形,三角形的证明,含30直角三角形性质及证明,谢谢!,
