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1、高量要点回顾,一、理论框架/基本概念物理学研究自然界最基本的运动规律,它对自然规律的描述是通过数学这一语言体现的1.矢量空间:态矢(叠加、镜像)、算符(本征态矢、本征值、兼并;对易的厄米算符可具有相同本征矢)、算符及态矢运算、基矢(完备性)、矩阵表示、表象变换(基的改变)2.测量(投影)、几率假说、测不准关系3.与经典力学(分析力学)的关系:力学量算符、对称(连续)操作与生成元、泊松括号对易关系;状态(x,p)|,二、量子力学基本理论,态的(无穷小)空间平移:动量是平移的生成元+量纲考虑坐标与动量的对易关系,坐标表象、动量表象态的(无穷小)时间演化:H是时间演化的生成元+量纲考虑时间演化算符与
2、含时薛定谔方程(能量本征态定态薛定谔方程);薛定谔/海森堡绘景海森堡运动方程;传播子与经典作用量的路径积分费曼路径积分方法态的(无穷小)转动:角动量是转动的生成元+量纲考虑+转动算符的群性质角动量对易关系,角动量的本征值与本征态力学量随时间的变化、能量守恒(能量表象)、对称性与守恒律全同粒子与交换对称,对称性假设,二次量子化混合系综、密度算符及其时间演化、量子统计力学电子的相对论运动方程:狄拉克方程,三、基础研究结果,1.坐标、动量、角动量算符的本征态、本征值,坐标/动量波函数的互换、算符的表示2.自由粒子(平面波、球面波)、谐振子(粒子数表象)、高斯波包、相干态、氢原子、方势阱、电子自旋与轨
3、道角动量3.态的叠加、演化、关联(跃迁)振幅4.自旋(角动量)态与算符在转动下的变换(转动算符)、球谐函数、角动量的叠加与表象变换(CG系数)、转动算符的矩阵表示(s=1/2,1及Schwinger振子模型)、张量算符的变换性质、构造、矩阵元(Wigner-Eckart定理)5.规范变换(场的基点选取)6.对称操作与兼并、宇称与算符变换、态的宇称、选择定则、晶格平移与Bloch定理7.时间反演、态与算符的变换、反幺正算符、角动量本征态的时间反演(矩阵元计算)、Kramers兼并,要区分算符与算符在特定表象的表示,利用矩阵代数的应用举例,若|1和|2正交,b1和b2是实数,A为厄米算符,且。求解
4、或证明:1)B为厄米算符;2)A,B;3)A的本征值与本征矢;4)sin(A)的本征值与本征矢;5)以|1和|2为基的表象中 sin(A)的矩阵表示;解:若3)的解为|a1=(c11,c12)T,|a2=(c21,c22)T,则|a1和|a2是sin(A)分别对应于本征值为sin(a1)和sin(a2)的本征矢;sin(A)=|a1sin(a1)sin(a2)a2|=,利用特征解和对易厄米算符特性的应用举例,均匀磁场中的电子:Hxy与Hz对易,Q,P=i,本征值为H的解为Hxy也可写为:可知本征矢,近似方法,1.定态微扰理论:非兼并微扰展开(能级不交叉、波函数归一化)、兼并微扰、变分法(电子结
5、构理论计算)Stark(电场)效应(一级、二级),精细结构(旋轨)、Zeeman(磁场)效应(表象选择),van der Waals(诱导电偶极矩)作用,磁性的Pauli模型2.含时微扰理论(严格):相互作用绘景、含时耦合方程、2态问题(Rabi公式、核磁共振)3.含时微扰理论(近似):Dyson级数、跃迁速率(Fermi黄金规则)、精细平衡、(辐射场)吸收截面(偶极近似)、光电效应、能移与寿命4.(弹性)散射理论:Lippmann-Schwinger方程、微分散射截面、一阶与高阶Born近似、Eikonal近似、分波法,题外话:关于理论的发展,1.Dirac在1931年关于”Magnetic Monopole”文中指出:理论物理的前途,甚至整个基础物理学前途的发展,有两个不同的可能性。一个是从实验引导出来的灵感,一个是从数学的结构的美所引导出来的灵感。时间越来越过去的话,从实验引导出来的灵感要渐渐地退居不重要的位置,因为实验太困难了。所以将来物理学的灵感,最主要要从美的数学方面来。2.82年Dirac回答杨振宁提问时说最可能的方向(代数、几何、分析与拓扑)是分析-尽管他的贡献主要是代数性的(Poisson括号、反对易矩阵)3.目前的科研活动基本是应用,多久后会再回到比较基础的问题研究?4.广义相对论(几何、实数)量子力学(自旋/内部量)?几何、代数、分析与拓扑协同考虑?,