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1、三、期货(远期)定价及其应用 既然在一定的条件下期货价格在任何时候都与远期价格相同，那我们只要讨论二者之一，比如远期定价既可以了。本章将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，Tt代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间。S：标的资产在时间t时的价格。,ST：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值。F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。r：
2、T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本章中，如无特别说明，利率均为连续复利。,组合A：一份远期合约多头 一笔数额为K e-r（Tt）的现金；组合B：一单位标的资产 在组合A中，Ke-r（Tt）的现金以无风险利率投资，投资期为（Tt）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（Tt）er（Tt）=K 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。,1.无收益资产远期（期货）合约的定价,根据无套利原则，这两种组合在t时刻(或现期t=0)的价值必须相等。即：f+K e-r（Tt）=S f=SK e-r（Tt）无收
3、益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。又由于期初现货价格为零，即f=0，则 F=Ser（Tt）,例1 假设一年期的贴现债券价格为$950，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为：F=950 e0.050.25=$962,例2 考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合理交割价格应该为：假设市场上该合约的交割价格为30.10元。期货合约价值被低估，应采取买期货卖股票战略。即套利者可以卖出股票将所得收入进行无风险利率投资3个月，到期可得资金
4、30.30元。再用这笔资金按30.10支付期货交割，期末可以获得无风险收益30.3030.100.20元。反之，如果市场上的远期合约的交割价格大于30.30元，比如30.40元（期货合约价值被高估）。套利者可以借钱买入股票并卖出远期合约，期末（要还债30.30）而卖期货收入30.40，获无风险净利30.40-30.30=0.10。,2.支付已知现金收益资产远期(期货)合约定价,组合A：一份远期合约多头 一笔数额为 Ke-r（Tt）的现金；组合B：一单位标的证券 一份利率为无风险利率、期限为从现在到现金收 益派发日、本金为 D 的负债。不难分析，A组合与B组合在到期日都是一个单位的证券。那么在期
5、初它们的现值也应相等。f+K e-r（Tt）=S-D f=S-D-Ke-r（Tt）,支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。根据F的定义，我们可从上式求得：F=(S-D)er（Tt）这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。其表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。由于存储成本可以看成负收益，设总存储成本为U，则有F=(S+U)er（Tt）,例3 假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元
6、，该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值：D=60e-0.090.5+60e-0.101=111.65元根据公式，我们可算出该远期合约多头的价值为：f=990111.651001e-0.11=$27.39元相应地，该合约空头的价值为27.39元。,3.支付已知收益率资产远期（期货）合约定价 为了给出支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头 一笔数额为Ke-r（Tt）的现金；组合B：e-q（Tt）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该
7、资产按连续复利计算的已知收益率。显然，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等，即：,根据远期价格的定义，我们可根据公式（3.7）算出支付已知收益率资产的远期价格：,若任意时刻存储成本与商品价格成一定比例，设为那么这一比率可以看成是负的红利收益率。由上式有：,例4 A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4，无风险利率为10，若该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。所以该远期合约多头的价值为1.18美元。其远期价格为：25.67美元,5.远期
8、（期货）价格的期限结构,远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为 T 到 T*时刻的无风险远期利率。F=S er（Tt）,两式相除消掉S后,我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：,例5 假设某种不付红利股票6个月远期的价格为30元，目前市场上6个月至1年的远期利率为8，求该股票1年期的远期价格。根据公式，该股票1年期远期价格为：读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。,6.现货-远期（期货）平价定
9、理,对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。即：F=S er（Tt）假设FSer（Tt），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为Tt。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Se r（Tt），这就实现了FSer（Tt）的无风险利润。,若FSe r（Tt），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为 F。在 T 时刻，套利者收到投资本息 Ser（Tt），并以 F 现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（Tt）-F的利润。,
