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1、1,第二章 机器人的空间描述和坐标变换2.1 位姿和坐标系描述2.2平移和旋转坐标系映射2.3平移和旋转齐次坐标变换2.4物体的变换和变换方程2.5通用旋转变换,2,2.1位置方位表示与坐标系描述,1.位置描述,矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其中右上角标“A”表示该点是用A坐标系描述的。,（2-2）,2.方位描述,坐标系B与机械手末端工具固连，工具的姿态可以由坐标系B的方向来描述。而坐标系B的方向可以用沿三个坐标轴的单位矢量来表示,图2-2方位表示,（2-1）,旋转矩阵 描述坐标系B的姿态，矢量 描述坐标系B的原点位置。,3,3.位姿描述,固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述
2、问题。图2-3中坐标系B可以在固定坐标系A中描述为,（2-3）,4,1.平移坐标变换,图2-3平移变换,BP为坐标系B描述的某一空间位置，我们也可以用AP（坐标系A）描述同一空间位置。因为两个坐标系具有相同的姿态，同一个点在不同坐标系下的描述满足以下关系,（2-4）,2.2平移和旋转坐标系映射,旋转坐标变换的任务是已知坐标系B描述的一个点的位置矢量BP和旋转矩阵，求在坐标系A下描述同一个点的位置矢量AP。,5,2.旋转坐标变换,（2-5）,将（2-5）式写成矩阵形式得：,（2-6）,图2-4旋转变换,式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐标系之间的旋转变换实现的。,6,3.
3、复合变换,图2-5复合变换,如果两个坐标系之间即存在平移又存在旋转，如何计算同一个空间点在两个坐标系下描述的变换关系？,为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，我们建立一个中间坐标系C。,（2-7）,（2-8）,为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，只需坐标系B 在坐标系下A的描述。,是44矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系B在固定坐标系A中的描述。,7,2.3齐次坐标变换,坐标变换（2-8）可以写成以下形式,（2-9）,将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵,（2-10）,（2-11）,齐次坐标变换的
4、主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变换的时候比较方便。,1.齐次变换,8,2.齐次变换算子,在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢量AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的过程称之为平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。,图2-6平移算子,（2-12）,可以采用齐次变换矩阵表示平移变换,（2-13）,称为平移算子，其表达式为,（2-14）,其中I是33单位矩阵。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分别表示坐标系A三个坐标轴的单位矢量，则平移算子表示为,9,同样，我们可以研究矢量在同一坐标系下的旋转变换，如图2-9，AP1绕Z轴转角
5、得到AP2。则,图2-7旋转算子,（2-20）,Rot(z,)称为旋转算子，其表达式为,（2-21）,同理，可以得到绕X轴和Y轴的旋转算子,10,定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。,（2-23）,齐次坐标变换总结：,表示坐标系B在坐标系A下的描述，的各列是坐标系B三个坐标轴方向的单位矢量，而表示坐标系B原点位置。,2.它是不同坐标系间的坐标变换。如,3.它是同一坐标系内的变换算子。,齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体应用的关键是理解它代
6、表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套用公式！,1.它是坐标系的描述。,如图2-10表示的三个坐标系，已知坐标系A、B和C之间的变换矩阵 和 位置矢量CP，求在坐标系A下表示同一个点的位置矢量AP。,11,3.复合变换,复合变换主要有两种应用形式，一种是建立了多个坐标系描述机器人的位姿，任务是确定不同坐标系下对同一个量描述之间的关系；另一种是一个空间点在同一个坐标系内顺序经过多次平移或旋转变换，任务是确定多次变换后点的位置。,图2-10 复合坐标变换,（2-24）,（2-25）,根据坐标变换的定义得,（2-26）,12,(a)ZY顺序旋转,(b)Y Z顺序旋转,图2-11旋转顺序对变换结果
7、影响,例2-3已知点u=7i+3j+2k，先对它进行绕Z轴旋转90o的变换得点v，再对点v进行绕Y轴旋转90o的变换得点w，求v和w。,如果只关心最后的变换结果，可以按下式计算,计算结果与前面的相同，称R=Rot(y,90o)Rot(z,90o)为复合旋转算子。,13,注：固定坐标系变换，矩阵乘的顺序“自右向左”,如果改变旋转顺序，先对它进行绕y轴旋转90o，再绕z轴旋转90o，结果如图2-11b所示。比较图2-11a和图2-11b可以发现最后的结果并不相同，即旋转顺序影响变换结果。,从数学角度解释就是矩阵乘法不满足交换率，Rot(y,90o)Rot(z,90o)Rot(z,90o)Rot(y
8、,90o)。,和，求 和,给定 计算,14,2.4物体的变换和变换方程,已知坐标系B相对坐标系A的描述,求坐标系A相对坐标系B的描述,一种直接的方法是矩阵求逆，另一种方法是根据变换矩阵的特点直接得出逆变换。后一种方法更简单方便。,即齐次变换的求逆问题。,等价为：已知,是坐标系B的原点在坐标系B中的描述，显然为零矢量。由（2-28）式得,15,根据前面的讨论，旋转矩阵关系为,（2-27）,将坐标变换用于坐标系B的原点得,（2-28）,（2-29）,逆变换可以直接用正变换的旋转矩阵和平移矩阵表示,（2-30）,16,A沿xA平移3个单位，再绕新的zA 轴转180o得 B,因此,B沿zB平移2个单位
9、，然后绕yB轴转90o再绕新xB轴转150o得 C,图2-12楔形块角点坐标系,例2-4，如图2-12给出的楔形块角点坐标系，求齐次坐标变换,因此,A沿xA和zA平移3和2，然后绕yA轴转90，再绕新xA轴转-30得C,也可以按以下方法计算,17,事实上，对于像本例题这种简单的情况，可以直接利用齐次坐标变换的定义得到变换矩阵。即直接写出坐标系C坐标轴矢量在坐标系A下表示得旋转矩阵，平移矢量为坐标系C的原点在坐标系A下的矢量表示。,18,变换方程,图2-13表示了多个坐标系的关系图，可以用两种不同的方式得到世界坐标系U下坐标系D的描述。,（2-31）,（2-32）,由（2-31）和（2-32）可
10、以得到变换方程,图2-13坐标变换序列,可以利用变换方程（2-33）求解其中任意一个未知变换。例如，假设除 以外其余变换均为已知，则该未知变换可以用下式计算,在坐标系的图形表示方法中，从一个坐标系原点指向另一个坐标系原点的箭头表示坐标系的描述关系。,（2-35）,（2-36）,19,例2-5假设已知图机械臂末端工具坐标系T相对基座坐标系B的描述，还已知工作台坐标系S相对基座坐标系B的描述，并且已知螺栓坐标系G相对工作台坐标系S的描述。计算螺栓相对机械臂工具坐标系的位姿。,解：添加从工具坐标系T原点到螺栓坐标系G原点的箭头，可以得到如下变换方程,（2-37）,螺栓相对机械臂工具坐标系的位姿描述为
11、,（2-38）,20,1.绕任意轴旋转变换,下面讨论绕任意轴 f 旋转矩阵，轴在坐标系A下表示为,以 f 为 Z 轴建立与A固连的坐标系C用n、o和f表示坐标系C三个坐标轴的单位矢量，在坐标系A下表示为,图2-18绕任意轴旋转变换,因为固连的坐标系C与A固连，所以绕 f旋转等价于绕ZC旋转。为此我们先将Ap在坐标系C下表示，再绕ZC旋转 q 角，最后再把旋转得到的矢量用坐标系A表示。,Ap1=Rot(f,)Ap,2.5通用旋转变换,21,再将Cp1在坐标系A下表示,因此,其中一个矢量,上式中的n和o各分量是未知的，需要用 f 的各分量表示,22,根据坐标系的右手规则知no=f，叉积可以按下式计
12、算,再根据旋转矩阵的正交性可以得,将上式对角线相加得 r11+r22+r33=1+2cq cq=(r11+r22+r33-1)/2,23,2.等效转轴与转角,前面讨论了给定转轴和转角可以得到旋转矩阵，那么是否任意给定的旋转矩阵都可以确定等效的转轴f和转角q哪？也就是两个坐标原点重合的坐标系可以通过绕固定轴转一定的角度来实现从一个坐标系转换到另一个坐标系。,将关于对角线对称的两个元素分别相减得,r32-r23=2fxsq,r13-r31=2fysq,r21-r12=2fzsq,将上式平方求和得：,4s2q=(r32-r23)2+(r13-r31)2+(r21-r12)2,假设限定绕矢量 f 正向旋转，且0q180o，则,可得q的值,q=atan(sq/cq),24,可得矢量 f 分量的值,在应用中需要注意的是，当转角q的值接近0o或180o时，方向矢量 f 各分量的值计算出现问题，属于奇异情况。,
