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1、勾股定理的应用,勾股定理（gou-gu theorem),如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,问题,1.直角三角形三边有什么关系?,2.如图,在RtABC中 C=90o,已知a,b.C=_,已知a,c.b=_,已知b,c a=_,3.你能利用勾股定理解决什么样的实际问题?,练习:,1、在ABC中，B=90若a=3，b=5，则c=2、在RtABC中，C=90,C的对边为c,c=7,b=3,则a=_3、等腰直角三角形的腰长为3cm，则底边长为.4、直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为.5、直角三角形两直角边分别为6cm,8
2、cm，那么这个直角三角形的斜边长为：_,1、在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_。,13,11,24,2、把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变,B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3,B,3、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是()A.25 B.14 C.7 D.7或25,A,B,C,D,7cm,2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2
3、。,49,(1)求出下列直角三角形中未知的边.,问题:在解决上述 问题时,每个 直角三角形 需知 晓几个 条件?直角三角形中哪条边最长?,检查：,(2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长,探究1,一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?,2m,D,C,A,B,连结AC,在RtABC中,根据勾股定理,因此,AC=2.236因为AC_木板的宽,所以木板_ 从门框内通过.,大于,能,1m,2m,(1)一个门框的尺寸如图所示.若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框内通过?若薄木板长3米,宽1.5米呢?若薄木板长3米,宽2.2米还能
4、通过吗?若能，怎么通过？若不能，为什么？,、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为(),A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米,C,试一试:,探究,如图，一个m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至，请同学们猜一猜，那么梯子底端B也外移0.5m吗？算一算，底端滑动的距离近似值（保留两位小数),在tAOB中,oB2=_,oB=_,在RtCOD中,OD2=_,OD=_,BD=_,梯子的顶端沿墙下滑，梯子底端外移,解,AB2-AO2,1.658m,CD2-CO2,
5、2.236m,OD-OB0.58m,0.58m,2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？,8m,2m,8m,A,B,C,D,E,一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知发生火灾的窗口距地面有14.2米，云梯底部距地面2.2米，问云梯至少需要搭出多少米可以够到失火的窗口?,A,B,C,E,D,帮一帮消防员,D,A,3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,G,F,E,提示,构造直角三角形,三、勾股定理的应用,1.已知：直角ABC中，C=90，若a=3,b
6、=4,求 c 的值。,（一）直接运用勾股定理求边,若c-a=2,b=6，求 c 的值,三、勾股定理的应用,（一）直接运用勾股定理求边,3、若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x=_,2.已知直角三角形ABC中,(1)若AC=8,AB=10,则=_.(2)若=30,且BC=5,则AB=_(3)若=24,且BC=6,则AB边上的高为_,24,13,4.8,2、如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求AC的长。,解：,ABD=90，DAB=30,BD=AD=4,在RtABD中,根据勾股定理,在RtABC中，,又AD=8,3.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一只猴子
7、爬下树走到离树40米的A处,另一只爬到树顶D后直接约向A处,且测得AD为50米,求BD的长.,三、勾股定理的应用,（二）先构造，再运用,A,B,C,5,5,6,1、如图，求ABC的面积,D,已知:如图,等边ABC的高AD是.(1)求边长;(2)求SABC.,练一练,1、在等腰ABC中，ABAC13cm，BC=10cm,求ABC的面积和AC边上的高。,A,B,C,D,13,13,10,H,提示：利用面积相等的关系,练习,勾股定理的应用,校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要
8、支出多少？,15,13,14,D,x,14-x,勾股定理的应用,下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,旗杆有多高呢？,你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？,A,B,C,x,x+1,如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？,C,解：由题意可知，DE为AB的垂直平分线。,连接BE，则,解得：CE=3.2cm,折叠问题,折叠问题,2、矩形纸片D中，D4cm，AB
9、=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？,A,B,C,D,E,F,（B）,（C）,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面1米,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?,x+1,B,C,A,H,1,2,?,x,x2+22=(x+1)2,试一试：,在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边
10、的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,D,A,B,C,无障碍设施建设是社会文明进步的重要标志，是城市管理人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不可或缺的环境条件。,2007年在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会,如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？,A,C,B,在RtABC中，ACB=90AB2=AC2+BC2(勾股定理）,解：AC=11.254=45cm,BC=203=60cm,通道的长度为75cm.,45,60,A,C,B,在RtADC中，ADC=30,AD=2AC=90cm（）,解：A
11、C=45cm,BC=60cm,D,若放缓坡度，使ADC=30,则点D还要距离点B多远？,30,DB=DC-BC=.,2007年将在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会,如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？,45,60,勾股定理的应用,机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm36cm23cm的长方体空间。一位旅客携带一件长 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？,56,36,A,B,C,D,解：四边形ABCD是长方形（已知）,B=90（长方形的四个角都是直角）,在RtABC中，AC2=AB2+BC2(勾股定理）,得,65
12、66.6,长65cm的画卷能放入行李架,65cm,圆柱(锥)中的最值问题,例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？,A,B,分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图),聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径螺旋线前进的。若将
13、树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。,（1）,（2）,数学奇闻,有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）,A,B,C,20尺,37=21（尺）,聪明的葛藤,例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？,分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.,四、长方体中的最值问题,思考：,如图：正方体的棱长为cm，一只蚂蚁欲从正方体
14、底面上的顶点A沿正方体的表面到顶点C处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？,9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于cm，cm和cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,B,A,7.观察下列表格：,请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=，c=,84,85,如图，RtABERtECD，AB=a，CD=b，AE=c。试证明：,4如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BDCD,证明：,过A作AEBC于E,E,AB=AC，BE=CE,在Rt ADE中，,AD2=AE2+DE2,在Rt ABE中，,AB2=AE2+BE2,AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2),=DE2-BE2,=(DE+BE)(DE-BE),=(DE+CE)(DE-BE),=BDCD,
