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1、气象观测站的调整,某地区内有12个气象观测站，位置如下图。,十年来各站测得的年降水量如下表所示：,为了节省开支，想要适当减少气象观测站。问减少哪些观测站可以使所得到的降水量的信息量仍然足够大？,欲解决的问题是,欲达到的目的是站数较少，同时得到的信息量仍足够大。在站数与信息量之间，信息量是主要因素。,1、问题分析：,由于不同站之间年降水量的相关性不仅取决于地理位置的远近，而且取决于地理气象环境的相似性。而该问题的主要依据是降水量信息，而各站的地理位置信息仅作为参考信息。,问题分解成以下几个问题：1）删除哪几个站？2）如何预测被删除站的降水量信息？3）如何度量上述预测值中所包含的降水量信 息是否足
2、够大？,假设：,1）降水量信息反映了各观测站地理气象环境之间的相似性；2）各站每年的降水量视为一个围绕其均值上下波动的正态随机变量；,模型建立与求解：,首先考虑相关系数矩阵。(xgxs.m),A=;R=corrcoef(A),具体计算,R=x1 x2 x3 x4 x5 x6 x71 1.0000-0.2456-0.2206-0.1082-0.3312 0.3481-0.26222-0.2456 1.0000 0.0777-0.3965 0.1085 0.0103 0.17753-0.2206 0.0777 1.0000-0.5031-0.2676 0.4077 0.81264-0.1082-0
3、.3965-0.5031 1.0000 0.3158-0.5567-0.15235-0.3312 0.1085-0.2676 0.3158 1.0000-0.6136-0.09776 0.3481 0.0103 0.4077-0.5567-0.6136 1.0000 0.22367-0.2622 0.1775 0.8126-0.1523-0.0977 0.2236 1.00008 0.0836-0.1697-0.0858 0.1384-0.3156 0.0417-0.32419 0.2928 0.1943 0.1915-0.2029-0.2524 0.4918 0.053110-0.3098
4、0.2421-0.0175-0.2501 0.5817-0.0106-0.067411 0.1587 0.0563 0.3278-0.4201 0.0844 0.6544 0.063512 0.2786-0.3460 0.0111-0.2597-0.2037 0.3631-0.5152,续上表,x8 x9 x10 x11 x121 0.0836 0.2928-0.3098 0.1587 0.27862-0.1697 0.1943 0.2421 0.0563-0.34603-0.0858 0.1915-0.0175 0.3278 0.01114 0.1384-0.2029-0.2501-0.42
5、01-0.25975-0.3156-0.2524 0.5817 0.0844-0.20376 0.0417 0.4918-0.0106 0.6544 0.36317-0.3241 0.0531-0.0674 0.0635-0.51528 1.0000 0.6348-0.5946-0.0762 0.53929 0.6348 1.0000-0.4225 0.4272 0.425910-0.5946-0.4225 1.0000 0.4969 0.002611-0.0762 0.4272 0.4969 1.0000 0.565212 0.5392 0.4259 0.0026 0.5652 1.0000
6、,强相关变量：x3,x7(0.750.81)中度相关变量：当0.5|ij|0.7时，称xi,xj中度相关。中度相关的变量有：x4,x6,x8,x9,x10,x11,x12轻度相关变量：x1,x2,x5显然，强相关变量与中度相关变量应优先考虑被删除。,总结,其次考虑标准差。将各站降水量的标准差列表：,对于标准差较大的站，认为它们包含的信息量比较大。所以应优先考虑删除标准差较小的观测站。因此，考虑删除的站有：D=x4,x6,x7,x8,x10,x11,x12,b=std(A),排序：4 7 1 5 3 6 2,用线性回归方法根据保留站观测数据去预测被删除站的观测值。估计应该在集合D中删除35个变量
7、。其组合数有,对每一种组合用回归方法进行线性拟合，根据剩余方差最小，每一个回归自变量显著为标准选出最佳组合。假定欲删除4个变量。,思考：究竟考虑删除几个观测站呢？,1)考虑删除观测站x4,x7,x10,x12进行回归拟合：x4=f1(x1,x2,x3,x5,x6,x8,x9,x11)x7=f2(x1,x2,x3,x5,x6,x8,x9,x11)x10=f3(x1,x2,x3,x5,x6,x8,x9,x11)x12=f4(x1,x2,x3,x5,x6,x8,x9,x11)其结果见huig2.m,例,2)考虑删除观测站x6,x7,x8,x10进行回归拟合：x6=f1(x1,x2,x3,x4,x5,
8、x9,x11,x12)x7=f2(x1,x2,x3,x4,x5,x9,x11,x12)x8=f3(x1,x2,x3,x4,x5,x9,x11,x12)x10=f4(x1,x2,x3,x4,x5,x9,x11,x12)其结果见huig1.m,b1,bint1,r1,rint1,stats1=regress(Y1,X);,两种情况对比：,当确定删除变量x6，x7，x8，x10的方案后，还可以通过逐步回归方法确定最佳回归方程。stepwise(X,y,inmodel,alfha)（huig11.m),例如输入：X=x1,x2,x3,x4;stepwise(X,y,1,2,3)注意：将得到一个交互式的
9、界面,输出结果：,输出结果：,通过各种情况的比较，得到如下的结果：删除观测站x6,x7,x8,x10，得到四个相对应的回归方程（如前面所示）。四个回归方程的剩余方差分别为：,结果分析：,定义信息损失比率：,计算出删除6，7，8，10四站的信息损失比率分别为：dert=4.02%0.22%25.96%8.85%平均信息损失为：9.76%删除4个站的降水量信息仍保留了约90%，结果比较令人满意。,除了以上分析方法以外是否还有其它统计方法可以分析呢？如主成分分析法、定义信息熵函数等。,思考：,熵(Entropy)是分子热力学中的一个概念，用以描述分子随机运动的无序程度。分子运动越是无序，则熵越大。在
10、信息论中，此概念被用以衡量随机试验得到的信息量的大小。熵越大，信息量越大。,最大熵原理,定义,其中c是常数，pi=PX=xi,i=1,2,n,一般取 c=1.不加任何限制，当pi=1/n时，熵最大。,定义,假设X是连续型随机变量，X的密度函数是p(x)，则熵函数定义为：,1、在方差一定的连续型概率分布中，以正态分布的 熵最大；2、对于任何一个基本对称系统，其状态的概率分布应在表征这个系统状态的约束条件下，使这个分布所定义的熵最大；,性质,例,将系统状态限制在有限区间之内时，使熵最大的分布是该区间上的均匀分布。,对气象观测站问题，可以计算在各观测站下的 标准差i的值，定义pi=i/j,或,可以计算当删除某个观测站，信息熵的变化值。即,
