汽车试验基础理论.ppt

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1、1,第二章 汽车试验基础理论,第一节 试验测试系统组成与特性第二节 测量不确定度与误差理论基础,2,第一节 试验测试系统组成与特性,试验测试系统组成,测试系统是由若干相互联系相互作用的单元（试验装置、仪器设备和传输及控制部件），为实现特定的测试目的而组成的有机整体。对于实现不同目的的试验测试系统来说，其复杂程度是不同的，通常可以由一些基本的、实现单一功能的基本系统组成。,3,一般情况下，一个完备的试验系统应包括：1、信号的转换系统 通常使用相应的传感器，将被测非电参量转换为电参量信号，作为测试系统的输入信号。2、信号的调整系统 这一系统通常由若干个放大器、滤波器、变换器等组成，通过信号源的阻抗

2、变换、信号的放大、衰减与波形变换、信号滤波、多路信号切换或调制解调，将传感器输出的电信号变换成不失真且便于传输、记录、处理的电信号。3、信号的记录与处理系统 一方面对包含被测参数信息的信号进行记录或显示，显示必要的数据变化图形，供直接观察分析，或将,4,其保存，供后续仪器分析、处理；另一方面，将记录的信号按测试目的与要求提取其有用信息，通过专用或通用计算机进行分析、处理，如概率统计分析、相关分析、功率谱分析和传递特性分析等。此外，为了确保测试系统的有效工作，还应包括相应的辅助装置。4、试验的激发装置 需要建立相应的试验激发装置（试验台），作为试验测试系统的前端，用以最大限度地获得被测参数可能的

3、特征量。5、定度和校准装置 是测试系统的辅助设备，测试前要对传感器及测试系统确定其输入与输出物理量转换关系的定度曲线，并,5,根据一种较高准确度的参考仪器进行校准，确定整个测试系统的精度。试验测试系统的数学模型 通常的工程测试问题总是处理输入量或被测量系统的传输或转换特性 和输出量 三者之间的关系。1）测量：如果系统的特性已知，通过对输出信号的观察分析，就能推断其相应的输入信号或被测量。2）定度过程：如果输入信号已知，通过对输出信,6,号的观察分析，就能推断测试系统的特性，这就是通常的系统或仪器的定度过程。3）信号预测：如果输入信号和系统的特性已知，则可以推断和估计系统的输出量，这就是通常的输

4、出信号预测。大多数的测试系统都可以假定为具有集中参数、有限自由度和参数时变系统的物理系统。因此，测试系统都可以作为线性非定常系统处理，即系统的输入信号（激励）和输出信号（响应）之间可用下列微分方程式来描述：,7,若 表示上述系统的输入、输出对应关系，则常系数线性系统具有如下基本性质：1）叠加特性 是指几个输入同时作用于系统时的输出，等于这些输入单独作用于系统时系统各输出的总和，即,8,2）比例特性 是指当系统输入增大若干倍，其输出也增大若干倍，即则对任意常数，都有 3）微分特性 系统对输入微分的响应等同于对原输入响应的微分，即,9,4）积分特性 若系统的初始状态为零，则系统对输入积分的响应等同

5、于原输入响应的积分，即 5）频率保持性 若系统输入为某一频率的正弦（余弦）激励，则其稳态输出也将只有该同一频率而不改变。,10,理想测试系统 理想的测试仪器或系统应该具有单值的、确定的输入、输出关系，而且最好是一个单向线性系统。单向系统是指测试系统对被测量的反作用影响可以忽略。例如振动测试时，要求传感器的质量很小，使其对被测振动物体的固有频率的影响可忽略不计。线性系统，即输入与输出是线性关系。在静态测试中，系统的线性关系虽然是所希望的，但不是必需的（因为在静态测试中，用校正曲线或输出补偿技术作非线性校正尚不困难）。在动态测试中，测试系统本身应该力求是线性系统，这不仅是因为在动态测试中作非线性校

6、正目前还相当困难，而且只能对线性系统作比较完善的数学处理与分析。然而，实际测试系统不可能在较,11,大的工作范围内保持线性。因此，只能在一定的误差范围和工作范围内做线性处理。,试验测试系统的基本要求 1）测试系统呈线性关系 测试系统应该具有单值的、确定的输入-输出关系，其中以输出和输入呈线性关系为最佳。2）测试目的 保证具有与测试目的和要求相适应的测量精度。3）测试过程中信号不失真 测试系统在任何时刻的输出与对应时刻的输入之比,12,是确定的常数，以确保测试结果在精度要求范围内不失真地反映被测物理量。4）系统必须有足够的信噪比 信噪比过小甚至使信号淹没在噪声中，使其所需要的信息无法正确分离获取

7、，将给测试结果带来很大的不确定度。5）系统响应的时间较短 任何测试的过程都存在整个测试系统达到稳定的响应时间，而只有稳态的输出才能得到稳定可靠的数据。因此，良好的动态测试系统应该具有尽可能短的响应时间和尽可能小的超调量。,13,试验测试系统的静态特性 测试系统的静态特性是指被测物理量处于稳定状态，输入和输出都是不随时间变化的常量（或变化缓慢，在所观察的时间间隔内可忽略其变化而视为常量）。此时，输入输出关系可用下式表示，即其中：表示输入的物理量 表示输出量 表示常数 当 时，表示即使在没有输入的情况下，仍有输出，通常称为零点漂移（零漂），理想的静态量测试,14,系统，其输出应是单值的，且线性比例

8、于输入，即静态特性为，其输入与输出关系曲线是一条直线。实际测试系统的静态特性用下列指标进行表征：1）准确度 是指测试系统的测量值与被测参数真值相符合的程度，它是表征测试系统静态特性的主要性能指标。一般来说准确度是一个定性的概念，大多数情况下，可以按准确度等级、系统测试误差或系统最大允许误差等方法加以描述。2）灵敏度 灵敏度是测试系统静态特性的一个基本参数。,15,对于特性呈线性直线关系的系统，有而非线性系统的灵敏度就是该系统静态特性曲线上各点的斜率，当测试系统的输出和输入为同一量纲时，灵敏度常称为放大倍数。,测试系统的灵敏度越高，测试范围往往越窄，稳定性也往往越差。,16,3）非线性度 非线性

9、度指测试系统的输出、输入间是否能保持常值比例关系（线性关系）的一种量度。通常用试验方法求取系统的输入、输出关系曲线，并称其为“定度曲线”。4）回程误差 回程误差也叫迟滞误差，它是判断实际测试系统的特性与理想系统特性差别的一项指标。理想测试系统的输出与输入应是单值的一一对应关系，而实际测试系统有时会对同一大小的输入量，其正向输入（输入量由小到大）和反向输入（输入量由大到小）的输出量数值不同，其差值称为滞后量。测试系统全量程内的最大滞后量和量程之比值称为回程误差或迟滞误差，即,17,5）重复度 重复度是指在相同的条件下，重复测试同一个被测参数时测定值的一致程度。任何一种测试系统，只要被测参数的真值

10、与测试值之间存在一一对应的确定性单调关系，且这种关系是可重复的，这个系统就是可信、有效、能够满足要求。可见，测试系统的重复度也是测试系统的重要指标。为了使测试结果最大限度地反映出实际情况，要求测试系统有较高的准确度、重复度和足够的灵敏度，而非线性度和回程误差要尽可能小。,18,试验测试系统的动态特性 测试系统的动态特性是指输入量随时间变化时，其输出随输入而变化的关系。就动态测量用的测试系统而言，必须对其动态特性有清楚地了解，否则根据所得的输出是无法正确地确定所要测定的输入量。为降低和消除测试系统的动态特性给测试带来的误差，对于动态测试的测试系统，必须考虑并掌握测试系统的动态特性，判断测试时会产

11、生什么误差。要研究测试系统的动态特性，首先必须建立其数学模型。1）测试系统的传递函数 传递函数的定义,19,实际测试系统都能在一定误差范围内和一定的量程范围内看作是不变线性系统。通常可以用多项式来描述输出和输入之间的关系，可以通过对微分方程进行拉普拉斯变换建立传递函数的概念来表示它的动态特性。传递函数是代数方程，将使其计算简化，方便而直观，避免了解微分方程的困难，便于分析研究系统的动态特性。若线性系统的初始条件为零，即在考察时刻（）其输入量、输出量及其各阶导数均为零，则对多项式进行拉普拉斯变换，得,20,通常，将输出量和输入量两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数，即 传递函数以代数式的形式表征

12、了系统的传输、转换特性，其中分母中的幂次代表系统微分方程的阶数。传递函数有以下特点：1）传递函数只描述了系统本身的动态特性，它与输入量无关。2）传递函数不说明被描述系统的物理结构，不管是电路系统，还是机械系统，只要动态特性相似，就可以用同一种类型传递函数来描述。,21,多环节组合测试系统的传递函数 一个系统是由若干个环节组成，为了求得整个系统的传递函数，需要研究系统中各个环节的联系：两个传递函数各为 和 的环节，如果串联后，它们的阻抗相互匹配，相互不影响彼此的工作状况，则所组成系统的传递函数为类似地，对n个环节串联组成的系统，有,22,若两个环节并联，则因故其传递函数为由n个环节并联组成的系统

13、，有,23,传递函数的分解 一般测试装置可简化成时不变线性系统，建立起常系数微分方程式，假设则传递函数的定义式简化为其中分母是变量 的实系数多项式，它总可以分解为一次和二次的实系数因子式，即,24,第二节 测量不确定度与误差理论基础,测量就是将被测量和同一物理量的标准值进行比较的试验过程，以期获得被测量的参数值。由于人们对客观世界认识的局限性和测量设备的不准确性，任何测量都不可避免地会产生测量误差。人们只能获得被测量的一个估计值或近似值，即被测量结果具有不确定性。只有对测量结果的不确定性给出客观的评价，测量结果才具有可参考价值，测量才是有意义的。,25,第二节 测量不确定度与误差理论基础,测量

14、工作及其分类测量不确定度概念测量误差的概念与分类随机误差系统误差异常数据的取舍,26,测量工作及其分类 对具体测量过程而言，就是用测量工具（测量仪器），将被测参数与同一物理量的标准量进行比较，从而确定该参数数值的过程。根据测量方法的不同，测量工作可以分为直接测量、间接测量和组合测量。直接测量 通过测试仪器，将被测量参数与同一物理量的标准量直接比较，或者用事先经过标准量校正的测量仪器进行测量，从而直接求得被测量参数的数值。换句话说，直接测量就是从测量结果直接获得被测量参数数值的一种测量方法。可用公式表示为,27,其中：被测量参数的数值 测量结果 间接测量 被测量参数通过某个已知的函数关系和一些独

15、立的参数相联系，对这些独立的参数进行直接测量，取得测量结果并代入函数式计算，以间接获得被测量参数的数值。可用公式表示为其中：被测量参数的数值 直接测量参数的测量结果,28,组合测量 将一定数量的被测量参数以不同的方式组合（或者改变试验条件的方法取得这种不同的组合），通过直接测量或间接测量取得测量结果，求解相应的方程式，以获得被测量参数的数值。,29,测量不确定度概念 测量不确定度的物理意义 测量不确定度表示测量结果（测量值）不能肯定确认的程度，或者说它是表征测量结果分散性的一个参数。可见，不确定度是和测量结果紧密联系的，用于说明精度程度高低的一个可量化的表示值，可以评价测量结果的可信程度。在测

16、量实践中，不确定度主要来自以下几个方面：1）被测量样品不能完全代表被测量；2）对环境条件的影响或测量程序的认识不足，或在不完善的环境条件下测量；,30,3）仪器读取时有人为因素的影响；4）测量仪器或装置的分辨力或鉴别阈值不够；5）标准值或标准物质的值不准确；6）数据处理中所引起的常数和其它参数的不准确；7）测量方法和程序中的近似和假设；8）在相同条件下，被测量在重复观测中的变化。测量不确定度的表达 不确定度一般包含若干分量，按其评定方法可分为A类和B类。其中，按统计方法获得的分量称之为A类不确定度；按其它方法获得的分量称之为B类不确定度。基本名词,31,真值 表征物理量与给定的特征值的定义一致

17、的量程。其值是客观存在的，但不可测量。随着科学技术的不断发展，人们对客观事物认识的不断深入，测量结果的数值会不断接近真值。标称值 是计量或测量器上标注的量程。由于制造不完备、测量不准确及环境条件的变化，标称值并不一定等于它的实际值，所以在给出标称值具体量的同时，通常应给出它的误差范围或准确度等级。测量结果（测定值）,32,由测量得到的被测量的值。测量误差 测量结果与被测量真值之间的差值，即 测量误差=测量值-真值 误差公理 在实际测量中，由于测量设备不准确、测量方法（手段）不完善、测量程序不规范及测量环境因素的影响，都会导致测量结果或多或少地偏离被测量的真值。测量结果与被测量真值之差就是测量误

18、差。测量误差的存在是不可避免的，也就是说“一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科学试验的过程之中”，这就是误差公理。人们研究测量误差的目的就是寻找产生误差的原因，认识误,33,差的规律、性质，进而找出减小误差的途径与方法，以求获得尽可能接近真值的测量结果。测量不确定度 是测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量值的分散性，它是误差的数字指标和表达方式。重复性 在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量所得结果之间的一致性。所谓相同条件就是重复条件，它包括相同测量程序、相同测量条件、相同观测人员、相同测量设备及相同地点。数据的舍入规则 由于测量误差的不可避免，以及在数据处理过程中应用

19、无理数时，不可能取无穷位，所以通常得到的测量数据,34,和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示确切统一，计算方便，在数据处理时需对测量数据和所用常数进行舍入（或修约）处理。1）小于5舍去，即舍去部分的数值小于所保留末位的0.5个单位，末尾不变；2）大于5进1，即舍去部分的数值大于所保留末位的0.5个单位，在末尾增加1；3）等于5则应用偶数法则，即舍去部分的数值等于保留末位的0.5个单位，末位是偶数，则末位不变，末位是奇数，则末位加1。例如，将下列数据舍入小数第二位：12.434 5412.43（0.004 540.005，舍去）,35,67.735 0463.74（0.00

20、5 040.005，进1）0.694 990.69（0.004 990.005，舍去）25.325 025.32（0.005 0=0.005，末位为偶数舍去）17.695 017.70（0.005 0=0.005，末位为奇数进1）123.105123.10（0.005=0.005，末位为0，按偶数处理，故舍去）上述数据舍入规则也被称为“四舍五入”，但这与平常的四舍五入的区别在于“等于5”的舍入处理上，之所以采用“偶数规则”，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负舍入误差的概率近似相等，从而使测量结果受舍入误差的影响减小到最低限度。,36,有效数字 若截取得到的近似数，其绝对误差（截取或舍入

21、误差）的绝对值不超过近似数末位数的半个单位，则近似数从左边第一个非零数字到最末一位数字为止的全部数字，称为有效数字。有效数字和数据的准确度（或误差）密切相关的，它所隐含的极限误差不超过有效数字末位的半个单位，如：3.1416 5位有效数字，极限（绝对）误差0.000 05 3.142 4位有效数字，极限误差0.000 5 8.700 4位有效数字，极限误差0.000 5 8.7103 2位有效数字，极限误差0.05103,37,0.87 2位有效数字，极限误差0.005 0.807 3位有效数字，极限误差0.000 5 舍入处理后的近似数，中间的0和末尾0都是有效数字，末尾的0很重要，不能随意

22、添加，多写则夸大了测量准确度，少写又夸大了测量误差。对于测量数据的绝对值比较大，而有效数字位数又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a10n，a的位数由有效数字的位数决定。,38,测量误差的概念与分类 测量误差的分类与性质 根据其产生的原因分类 1）仪器误差（工具误差）由于仪器结构、制造不完善，或调整、校正不当等原因而引起的。2）人为误差（个人误差）由于测量工作者技术不熟练或其它主观原因而引起的。3）环境误差（条件误差）由于测量环境的影响或测量条件的变化而引起的。,39,根据其性质分类 1）系统误差 保持一定数值或按一定规律变化的误差。即在重复条件下，对同一物理量无限多次测量结果的平均值减该

23、被测量的真值。在实际应用中，真值是用约定真值或相对真值来代替的，系统误差只能是近似估计。系统误差的来源包括测量设备的基本误差、偏离额定工作条件而产生的附加误差、测量方法理论不完善所带来方法误差及试验人员测量素质不高产生的人员误差。系统误差是有规律的，这种规律体现在每一次具体的测量中。因此，通过试验找到这种规律之后，就可以对测定值进行修正，以消除系统误差的影响。,40,2）过失误差 过失误差是明显超出规定条件下预期的误差，它是统计异常值。也就是含有过失误差的测量结果明显偏离被测量的期望值。产生过失误差的原因有：读错或记错数据，使用有缺陷的计算器具，实验条件的突然变化等。显然，含有过失误差的测量值

24、是对被测量的歪曲，故应从测量数据中剔除。只要认真细致地进行测量，反复检查核对数据，严格保证试验条件，过失误差是可以避免的。3）随机误差 即使在相同的条件下，对同一参数重复地进行多次测量，所得到的测定值也不可能完全相同。这种由于许多相互独立因素的微小变化的共同作用而产生的误差，就称为,41,随机误差，或称偶然误差。在任何测量工作中，随机误差是无法避免的。但是，在重复条件下无限次测量的平均值中只含有系统误差，也就是说，随机误差的期望值为零。这一特性常称为随机误差抵偿特性。随机误差产生于试验条件的微小变化，如温度波动、电磁场扰动、地面振动等。由于这些因素互不相关，因此随机误差就其个体而言，是没有规律

25、的，无法预先估计的、不可控制修正的。但其总体却符合数理统计学的规律，重复测量的次数越多，这种规律性就越明显。因此，可以用数理统计的方法，计算随机误差对测量结果可能带来的影响。,42,系统误差、过失误差和随机误差具有完全不同的性质，其定义是科学而严谨的，是不能混淆的。测量误差的表示 1）绝对误差 示值与真值之差，即其中：绝对误差 示值 在一般测量中，示值就是测量系统或仪器给出的测量值。但是，由于真值的不可知性，常常用约定真值或相对真值代替。绝对误差可正可负，并且是一个有单位的量。绝对误,43,差的负值称之为修正值，也叫补值，一般用c表示，即 测量仪器的修正值一般是通过计量部门检定给出的，从定义不

26、难看出，示值加上修正值就获得相对真值，即实际值。2）相对误差 绝对误差与真值之比，一般用百分数形式表示，即 这里的真值 也用约定真值或相对真值代替，但在无法知道约定真值或相对真值时，往往用测量值（示值）代替，即,44,相对误差愈小，准确度越高。3）引用误差 引用误差是为了评价测量仪表的准确度等级而引起的，因为绝对误差和相对误差均不能客观正确地反映测量仪表的准确度高低。引用误差定义为绝对误差和测量仪表量程之比，用百分数表示，即其中：引用误差 测量仪表的量程,45,测量仪表的各指示（刻度）值的绝对误差有正有负。所以，确定测量仪表的准确度等级应用最大引用误差，即绝对误差的最大绝对值 与量程之比。若用

27、 表示最大引用误差，则有 4）允许误差 允许误差是指测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围，它是测量仪器的最重要的指标。测量的精密度与准确度 在测量工作中，把测量结果与被测量参数真实值相符合的程度，定义为测量的准确度。系统误差越大，测量的,46,准确度越低。所以，系统误差决定了测量的准确度。随机误差使测定值具有不确定性，也就是说，测定值在某一范围内围绕某个数值（通常把这个数值作为测量结果）而波动。在测量工作中，把测量值的密集性（或称重复性）定义为测量的精密度。随机误差波动范围越大，测定值越离散，测定的精密度就越低。所以，随机误差决定了测量的精密度。过失误差使测定值明显地被歪曲，因而，包含过

28、失误差的测定值是不可信赖的，应予以舍弃。所以，过失误差决定了测量数据的可信度。,47,随机误差 随机误差在总体上具有以下规律：1）数值上的规律性 绝对值小的误差出现的次数多余绝对值大的误差出现的次数，且误差的绝对值不会超过某一数值。2）符号上的规律性 绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等。因此，可以用概率论和数理统计学的方法，从总体上研究随机误差的分布规律。等精密度测量的最可信赖值 在等精密度的条件下，对某个参数进行了n次测量，得到 等n个测定值，这些测定值组成一个测量,48,列。以 表示被测量参数的真值，以 表示各测定值所包含的随机误差，则有若以 表示测定值的算术平均值，即由上述二式可得

29、,49,当测量次数增加时，绝对值相等的正误差与负误差出现的可能性相同，因此可以相互抵消，使得，在这种情况下，测定值的算术平均值就等于被测参数的真值。但在实际上，测量的次数只可能是有限的，所以测定值的算术平均值只是真值的一个近似值。随着测量次数的增加，算术平均值就越接近真值。因此，可以认为测定值的算术平均值是最可信赖值。根据统计学原理，测定值的算术平均值是被测参数真值的一致而无偏估计。,50,测定值 与算术平均值 之差，称为残余误差，以 表示，则有各式相加，得因为所以,51,各测定值残差的代数和恒等于零，残差的这个性质，可以用来检查算术平均值的计算是否正确。被测参数的真值和测定值所包含的随机误差

30、，实际上是无法求得的。而测定值的算术平均值与残差则是可以计算的，所以它们在测量数据处理与误差分析中具有重要的意义。随机误差的正态分布定律 作为一个连续随机变量，随机误差 的数值恰为 的概率等于零，这时，如果概率分布密度函数的值为，则随机误差落在 这一微小范围内的概率为,52,随机误差在 范围内出现，是一个必然事件，所以 随机变量的分布可以认为是正态分布，则其概率密度函数可以用下式表示，即其中：标准误差或均方根误差，其中 误差理论基本方程式,53,标准误差 就是分布曲线拐点的横坐标。已知测量列的随机误差 落在 范围内（即）的概率，可按下式计算：令 代入上式，即,54,将被积函数 展开为下列级数，

31、即于是 为了便于应用起见，常将上述计算值编成概率积分表，其形式为。使用时根据 和 的数值，按 计算，然后查表求得 的数值。,55,测量列的精密度参数分析 测量值包含了随机误差，影响了测量结果的不确定度。如何评价和判断测量结果的误差大小，确定测量过程的精密度水平，是真实反映被测参数精确程度的重要问题。在一个等精密度测量列中，各测量值包含有测量数值与符号各不相同的随机误差。在其中任选一个误差（即抽取一个样本），以代表整个测量列（即总体）的误差情况，显然是不合理的。,56,标准误差（均方根误差）各随机误差均方根的正平方根，定义为标准误差，即 标准误差是各随机误差平方 的函数，因而对绝对值较大的误差比

32、较敏感，能较好地反映测量列的精密度。概然误差（概率误差）概然误差 的定义是绝对值小于 的随机误差出现的概率为0.5，即 令，查概率积分表可得,57,平均算术误差（平均误差）各随机误差的绝对值的算术平均根，定义为平均算术误差，即 平均算术误差，实际上是随机误差绝对值 的数学期望，有考虑到正态分布曲线对称于纵坐标轴，将积分限改为一半，即,58,极限误差（最大可能误差）极限误差的意义是在一个有限的测量列中，任何一个随机误差的数值都不超过。确切地说，绝对值大于的随机误差，出现的概率接近于零。由概率积分表 可见，当。这就是说，绝对值大于 的随机误差的出现是个小概率事件，实际上不会发生，于是，可以认为。,

33、59,有限次测量的精密度估计 因为重复测量次数 有限时，相当于从总体中随机地抽取一个容量为 的样本。从无限的总体中抽有限容量的样本，其组合方式将是有限的，并且各个样本是不可能完全相同的。于是，样本的精密度参数将是一个随机变量，它们围绕着总体相应的参数而波动，或者说样本的精密度参数的数学期望，等于总体相应的参数。因此，对于已经抽出的某个具体的样本而言，它的精密度参数只是总体参数的一个估计值（近似值），通常用 表示。用样本参数代替总体参数（即用）而引起的误差，在一般测量中可以忽略。在有限容量的样本中，只能求得测定值的残差，因而只能通过残差来计算精密度参数。根据统计学原理可知，用样本残差表示的总体标

34、准误差的无偏估计，即,60,求得 后，可按表2-1所示的关系，计算。这种通过残差平方和估计精密度参数的方法，称为贝塞尔方法。同理，用样本的残差表示的平均算术误差的无偏估计，即 求得 后，可按表2-1所示的关系，计算。这种通过残差绝对值和估计精密度参数的方法，称为佩斯特方法。,61,有限次测量的测量结果精密度 有限次测量的测量结果本身是一个随机变量，测量结果与被测量值之差，称为测量结果的随机误差，即 测量结果的随机误差等于各测定值随机误差的算术平均值。测量结果的标准误差 与测量列的标准误差 具有如下关系：式中，n测量列的容量，即重复测量的次数。,62,参照表2-1所示的关系，可以求得测量结果的其

35、它精密度参数，即测量结果的概率误差，测量结果的平均算术误差，测量结果的极限误差。根据贝塞尔法计算时，如果测定值的残差以 表示，则，这样,63,重复测量的次数不能太少，因为测量次数过少，就无法确定整个测量列的性质。在一般试验测量工作中，建议将重复测量的次数n取为1015。,64,测量结果的表达 通过有限次测量，不可能获得被测参数的真值，但是可以用测定值的算术平均值 或加权平均值 来近似代替它，即 这种表达方式常用于粗略的测量。若需要确切获得被测参数的测定值的置信水平，可以运用数理统计学中区间估计的方法，求得被测参数的真值在某个置信概率下的置信区间。于是,65,66,系统误差 系统误差及其分类 保

36、持一定数值或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差是有规律的，它体现在每一次具体的测量中。因此，通过试验找到这种规律以后，就可以对测定值进行修正，以消除系统误差的影响。设被测参数的真值为X，系统误差为，包含有系统误差的测定值为，在不考虑随机误差的情况下，可得于是,67,为了获得被测参数的真值，需要在测定值上加上一项，用 来修正测定值，因此，被称为更正值（更正项）。系统误差根据其性质可以分为固定的系统误差和变化的系统误差。1）固定的系统误差 在整个测量过程中，数值大小与正负号都保持不变的系统误差，称为固定的系统误差。例如，仪器标尺的刻度（或标定）误差，就是一种常见的固定的系统误差。仪器使用

37、温度与标定温度不同而引起的误差，在使用温度不变的条件下，也有这种性质。,68,2）变化的系统误差 在测量过程中，数值大小与正负号发生变化的系统误差，称为变化的系统误差。根据变化的规律不同，又可分为：累进的系统误差是测量过程中不断增大（或减小）的系统误差，其中最简单的一种是线性误差。周期性的系统误差是周期性地改变数值或正负号的系统误差。系统误差对测量的影响 对参数 作n次重复测量。在一般情况下，测定值中既包含有随机误差，也包含系统误差，设,69,为未更正（即包含有系统误差和随机误差）的各测定值，为更正后（即消除了系统误差但仍有随机误差）的各测定值，为未更正的测定值的算术平均值，为更正后的测定值的

38、算术平均值。1）设测定值中只含有固定的系统误差和随机误差 根据测量误差的定义，可得其中：固定的系统误差；随机误差,70,将上式相加并除以n，即或 对未更正的测定值的算术平均值M,引入各更正值，即可求得更正后的测定值的算术平均值L，是最可信赖结果。更正后的测定值的残差，有即 可见，更正后的测定值的残差 与未更正的测定值的残差 相等，即固定的系统误差的存在，将不会影响测量,71,的精密度参数。因此，用表2-1所列的公式处理测量数据时，将不可能发现固定的系统误差的存在，这就是固定的系统误差特别危险的原因。2）设测定值中含有变化的系统误差和随机误差 根据测量误差的定义，可得 将上式相加并除以n，即得或

39、,72,式中：c 消除系统误差 而引入的更正值，系统误差 的算术平均值。由此可见，为了求得更正后的测定值的算术平均值L，可以根据变化的系统误差的平均值，对更正的测定值算术平均值M引入更正值。更正后的测定值的残差，有 可见，更正后的测定值的残差 与未更正的测定值的残差 并不相等。即变化的系统误差的存在，将影响测量的精密度参数。,73,在上述讨论中，可以是一种因素引起的系统误差，也可以是多种同类因素系统误差的合成。系统误差的发现 1）残差分析法 根据式（2-47），未更正的各测定值的残差 可以写成如下形式，即式中：变化的系统误差的平均值。对于一个已经实现的测量列而言，是一个确定,74,的数值，而

40、则是一个变量。在随机误差小于系统误差的情况下，由 的符号，可以发现变化的系统误差的存在。具体的检验法则如下：法则1：将未更正的测定值按测量的先后次序排列，如残差 的代数值有规则地向一个方向变化，即符号为，则该测量列包含有累进的系统误差。法则2：将未更正的测量值按测量的先后次序排列，如残差 的符号有规律的交替变化，则该测量列包含有周期性地系统误差。如果在测量列的一部分测定值中包含有固定的系统误差，而其余测定值不包含这种误差，那么，就整个测,75,量列而言，这种一种变化的系统误差，可以用残差分析法发现它的存在。法则3：在一个测量列中，当存在某些测量条件，测定值的残差 基本上保持相同的符号，而不存在

41、这些条件（或条件改变）时，残差 均变号，则该测量列包含有随着条件的改变而出现（或消失）的固定的系统误差。显然，系统误差的数值不超过随机误差时，用上述3条法则，将不能发现系统误差的存在。这时，如重复测量的次数n足够多，可以采用下述法则：法则4：将未更正的测定值按测量的先后次序排列，如前一半测定值的残差和与后一半测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包含有累进的系统误差。,76,法则5：在一个测量列中，如条件改变前测定值的残差和与条件改变后测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包含有随测量条件的改变而出现（或消失）的固定的系统误差。2）分布检验法 因为随机误差服从正态分布，所以只包含有

42、随机误差的测定值也服从正态分布。如果发现测定值不服从正态分布，就有理由怀疑测定值中包含有变化的系统误差，这就是分布检验法的基本思想。显然，只有在重复测量次数n足够多时，分布检验法才有意义。为了检验一个测量列是否服从正态分布，可以应用正态概率纸。,77,设纵坐标的标度为y，那么该标度至横坐标的距离为，即 当，于是标度为50%的横线就是横坐标轴。如果随机变量，那么 以x为横坐标，以概率分布函数 为纵坐标，则点 的几何位置将是。所,78,以对一切x而言，在正态概率纸上将表现为一条直线。因此，将测定值的波动范围分若干组，然后计算各组内测定值出现的频数、相对频数和累计相对频数。重复测定次数n足够多时，累

43、计相对频数可以看作概率分布函数 的一个试验结果。根据累计相对频数的数值，在正态概率纸上画点，如果测定值服从正态分布，则这些点应在一条直线上。由于样本的随机波动，多少有些偏差是允许的，一般来说，中间的点离直线的偏差不能过大，两端的点允许有稍大的偏差。如果偏差过大，则应怀疑总体不服从正态分布。,79,系统误差的消除 作为一般的原则，消除系统误差可以从以下两方面着手：1）防止系统误差的产生 采用完善的测量方法，正确地安装和使用测量仪器、设备，保持稳定的测量条件，防止外界的干扰等，可以避免系统误差的产生。例如，在应变片电测量技术中，采用稳定电源、温度补偿、抗干扰的屏蔽线连接等。2）掌握系统误差的规律，

44、对测定值引入更正值 在测量工作之前，对测量仪器和设备进行校正，取得仪器示值与准确值的关系，确定各种更正公式或更正值曲线，以便对测定值引入更正值，消除系统误差影响。,80,异常数据的取舍 过失误差与异常数据 由于测量工作中的错误、疏忽大意等原因引起的误差，称为过失误差。一般来说，过失误差远大于系统误差和随机误差。过失误差使测定值明显地被歪曲，因此，包含有过失误差的测定值是不可信赖的，应予以舍弃。为了发现过失误差，可以对测定值作必要的检查和校核。例如，采用其它方法和仪器对未知参数进行校核性测量。在一个测量列中，可能出现个别的过大或过小的测定值，这种包含有巨大误差的测定值，通常称为异常数据。异常数据

45、往往是由过失误差引起的，也可能是由巨,81,大的随机误差引起的。异常数据的舍弃必须十分谨慎，如果有充分 的根据可以判定异常数据是由过失误差引起的，应予以舍弃。对于原因不明的异常数据，只能用统计学的准则决定取舍。仅仅根据某个测定值与其它测定值有较大的差别而予以舍弃，这种主观的判定是没有道理的。异常数据的取舍准则 用统计学的方法决定异常数据的取舍，其基本思想是：数值超过某一界限的测定值（即残差超过某个极限值），出现的概率很小，是个小概率事件。如果在一个容量不大的测量列中，居然出现了这种测定值，可以认为，这是由过失误差引起的异常数据，因而予以舍弃。,82,由此可见，异常数据取舍的具体准则，表现为测定

46、值的残差是否超过某个极限值。而这个问题又取决于概率小到什么程度才被认为是小概率，不同的标准可以得出不同的残差极限值。主要有线面几个取舍准则：1）来伊达准则 在一个有限的测量列中，随机误差服从正态分布，即，其中 为测量列的标准差，可用残差 予以估计，即。若果测量次数n足够多，残差亦服从正态分布，即，其中,83,显然 近似于，因而可用 代替。由概率基本表可知，绝对值大于（近似于）的残差，出现的概率仅为0.0027，这是一个小概率事件。因此，残差的绝对值大于（即残差极限值）的测定值，可以看作是由过失误差引起的异常数据，应予以舍弃，这就是来伊达准则。2）肖维纳准则 对未知参数作n次重复测量，如残差超过

47、某个极限值的测定值，出现的概率等于或小于，可以认为是小概率事件。也就是说，在n次测量中，这种测定值出现的次数等于或小于，因而不应该发生。如果出现了这种测定值，可以认为是过失误差引起的异常数据而,84,予以舍弃，这就是肖维纳准则。设残差服从正态分布，且分布参数 可用测量列的标准误差 近似代替。于是，肖维纳准则可用下式表示：式中：肖维纳准则的残差极限值；测量列的标准误差。这里，。因此，根据测量次数n，可以求得，然后查概率积分表即可求出，于是,85,3）格拉布斯准则 设测定值服从正态分布，即。根据贝塞尔方法，分布参数 可用测定值的误差予以估计，即 一个有限的测量列，可以看做从测定值总体中抽取的随机样本，如果，则G是一个随机变量。格拉布斯推导了随机变量G的概率密度函数，因而选定信度（显著性水平），就可得到临界，使得其中，是一个很小的数值，一般取为0.05、0.025或0.01。,86,临界值 是测量次数n和信度 的函数。在一个测量列中，最大的或最小的测定值的残差，如超过残差极限值，即则认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予以舍弃。,