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1、第七章 单因素方差分析One-factor Analysis of Variance（ANOVA),为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙和高剂量钙（1.5%）3种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？,表7.1 3种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值,学过的统计学知识进行检验?,因素也称为处理(treatment)因素（factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”，a个处理组）,各重复n次。,一.方差分析基础,
2、第一类错误的概率增大a=0.05(犯第一类错误的概率，假阳性）1-a=0.95（不犯第一类错误的概率）检验3次，不犯第一类错误的概率为：0.95 3=0.857375犯第一类错误的概率为：1-0.857375=0.142625 统计资料的浪费，检验准确性的降低,Analysis of Variance(ANOVA)由英国统计学家首创，为纪念Fisher，以 F 命名，故方差分析又称 F 检验（F test）。用于推断多个总体均数有无差异,方差分析基础,一.方差分析的基础二.完全随机设计的单因素方差分析三.多个样本均数间的多重比较四.方差分析的假定条件,因素也称为处理(treatment)因素（
3、factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”，a个处理组）,各重复n次。,一.方差分析基础,1.方差分析的基本思想,所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。,1.离均差=（x-）2.离均差之和=（x-）=03.离均差平方和 SS=（x-）2,虽然离均差（deviation from average)可以衡量变异程度，但是离均差之和为0，所以不是理想的指标,为了合理地计算平均差异，用平方和的办法来消除离均差的正负号，离均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不同样本的观察值个数不同，所以离均差平
4、方和也不是理想指标,将离均差平方和求平均数，称为样本方差(均方差 mean deviation,MD)，目的是消除观察值个数的影响,样本均方开方，目的是使变异还原，即标准差（Standard Deviation）。,1.方差分析的基本思想,所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。,一.方差分析基础,总变异（Total variation,SS总）：全部测量值Yij与总均数 间的差异 组间变异（between group variation,SS组间）：各组的均数 与总均数 间的差异组内变异（within group var
5、iation,SS组内)：每组的每个测量值Yij与该组均数 的差异,3.三种“变异”的计算,总变异（total variation):所有测量值之间总的变异程度 包含了：处理效应和随机误差,组间变异（variation between groups):各组均数Yi的变异程度 包含了：处理效应和随机误差,组内变异（variation within groups):各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度 包含了：随机误差,离均差平方和的分解,组间变异,总变异,组内变异,2.三种“变异”之间的关系,离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS),
6、SS总=SS组间+SS组内,V总=V组间+V组内,检验样本平均数之间的变异（方差）的大小,One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation,Variation Due to Treatment SSB,Variation Due to Random Sampling SSW,Total Variation SST,Commonly referred to as:Sum of Squares Within,orSum of Squares Error,orWithin Groups Variation,Commonly referred to as:S
7、um of Squares Among,orSum of Squares Between,orSum of Squares Model,orAmong Groups Variation,=,+,均方差，均方(mean square，MS)变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。,F 值与F 分布如果各组样本的总体均数相等（H0），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比值称
8、为F 统计量 F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F 值越大，拒绝H0的理由越充分。,F 分布曲线,数理统计的理论证明，当H0 成立时，F 统计量服从F分布,二.完全随机设计的单因素方差分析,为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙和高剂量钙（1.5%）3种不同的高脂饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？体重：观测变量单因素（one factor):不同剂量的钙(控制变量）水平（level）：3个，高中低完全随机涉及：36只肥胖模型大白鼠随机等分
9、为3组,方差分析的基本步骤,建立假设检验确定检验水准,H1:3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同a=0.05,方差分析的基本步骤,3.根据v1=v组间=2，v2=v组内=33，在附表中无 v=33,在保守的原则下取不大于33且接近于33的数值，30，得F0.05(2,32)=3.316,F0.01（2,32）=5.390，由F=31.36知 P0.01,按照P0.05水准，拒绝H0,差异具有统计学意义，可以认为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同。,建立假设检验确定检验水准,计算 检验统计量,确定P值 作出推断,H1:3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平
10、均水平不全相同a=0.05,三.平均值之间的多重比较,不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足 分析终止拒绝H0，接受H1,表示总体均数不全相等 哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？需要进一步作多重比较。,H0:i=j H1:i j事先指定的两个组(i,j)进行比较：一类错误的概率为：比较性错误率（comparison-wise error rate,CER)任意两组之间的比较：一类错误的概率为：试验性错误率(Experiment-wise error rate,EER)避免应用t检验反复进行比较避免没有任何生物学意义的反复比较,1.LSD-t test(least significan
11、t difference)法,联合估计的方差，用MSE代替(所有组联合估计，比两个组的数据联合估计更好）MSE的自由度，临界值：t 0.05,N-a,适用于：事先指定的两个组进行比较,应用,解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：A=B,即两对比组总体均数相等H1：AB,即两对比组总体均数不等=0.052.计算检验统计量,3.确定 P值，作出判断按照=0.05水准，组次1与2比较，拒绝H0,差别有统计学意义，喂养中等剂量钙9周后体重不同。,应用,解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：A=B,即两对比组总体均数相等H1：AB,即两对比组总体均数不等=0.052.计算检验统计量,3.确定 P值，
12、作出判断按照=0.05水准，组次1与3比较，拒绝H0,差别有统计学意义，喂养高等剂量钙9周后体重不同。,2.SNK(student-Newman-Keuls)SNK q test,根据q值的抽样分布作出统计推论。1将各组的平均值按由大到小的顺序排列：顺序(1)(2)(3)平均值YBYCYA 原组号BCA2.计算两个平均值之间的差值及组间跨度a3.计算统计量q 值4.根据计算的q值及查附表得到的q界值，作出统计推断。,应用,解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：A=B,即两对比组总体均数相等H0：AB,即两对比组总体均数不等a=0.052.计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次
13、,3.确定 P值，作出判断按照a=0.05水准，组次1与2、1与3比较均拒绝H0,差别有统计学意义，喂养9周后体重差值不同。组次2与3不拒绝H0,差别无统计学意义，喂养9周后体重差值相同。,2.其他方法：Bonferroni法，Dunnett 法等(了解，自学）,Bonferroni方法采用/c 作为下结论时所采用的检验水准。c 为两两比较次数，为累积I类错误的概率。,适用性,当比较次数不多时，Bonferroni法的效果较好。但当比较次数较多(例如在10次以上)时，则由于其检验水准选择得过低，结论偏于保守，犯假阳性几率低。,应用,解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：A=B,即两对比组总体
14、均数相等H0：A=B,即两对比组总体均数不等=0.05,=0.01672.计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次,3.确定 P值，作出判断按照=0.05水准，组次1与2、1与3比较均拒绝H0,差别有统计学意义，喂养9周后体重差值不同。组次2与3不拒绝H0,差别无统计学意义，喂养9周后体重差值相同。,一般不鼓励！没有预先计划的任意两组之间的比较翻来覆去的比较，寻找有意义的结果,两两比较 预先规定的两两比较（LSD）Post hoc 两两比较（SNK）两两比较的 Bonferroni比较,四.方差分析的假定条件,1.正态性:各处理组样本是相互独立的随机样本,其总体服从正态分布；（专
15、业知识)2.方差齐性（Bartlett 检验法）:相互比较的各处理组样本的总体方差相等 即具有方差齐同（homogeneity of variance）上述条件与两均数比较的t 检验的应用条件相同。,最大方差与最小方差之比大于2.5,考虑方差齐性检验,Bartlett 检验法:仅仅适用于正态分布,Lavene 检验法:适用于正态分布和非正态分布 适用于两个以及多个样本SAS,SPSS统计学软件的默认方法,3.数据变换改善数据的正态性或方差齐性。使之满足方差分析的假定条件平方根反正弦变换适用于二项分布率（比例）数据。2.平方根变换适用于泊松分布的计数资料3.对数变换适用于对数正态分布资料 数值为
16、负，加上a值，再取对数）,18例已型脑炎患者随机分成3组,分别接受A,B,C三种不同的处理，记录发热的天数，问三种处理的平均效应是否相同,一.方差分析的基本思想和基本步骤二.完全随机设计的单因素方差分析三.多个样本均数间的多重比较四.方差分析的假定条件,本章重点内容,为何多个均数的比较不能用t检验？若采用t检验，则其检验水准和两样本均数之差的标准误如何调整？多个均数的比较时，在什么情况下，需要做两两比较？方差分析中的F检验为何是单侧检验？,为探索丹参对肢体缺血关注算上的影响，将30只纯种新西兰试验用大白兔，随机分成3组（A,B,C)，分别给予丹参2mL/kg(A)，丹参1mL/kg(B),生理盐水2mL/kg(C)。测定松止血带前后1小时血中白蛋白含量(g/L),计算出白蛋白的减少量(g/L)如表所示，试应用所学统计学知识全面第对所得数据进行描述和分析。A:2.21,2.32,3.15,1.86,2.56,1.98,2.37,2.88,3.05,3.42B:2.91,2.64,3.67,3.29,2.45,2.74,3.15,3.44,2.62,2.86C:4.25,4.56,4.33,3.89,3.78,4.62,4.71,3.56,3.77,4.23,
