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1、第5课时 空间中的垂直关系,1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与此平面垂直(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线,基础知识梳理,任意一条,相交,平行,2二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,基础知识梳理,两个半平面,垂直于掕,3平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过
2、另一个平面的，则这两个平面垂直(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内 的直线与另一个平面垂直,基础知识梳理,直二面角,垂直于交线,垂线,基础知识梳理,思考？,垂直于同一平面的两平面是否平行？【思考提示】可能平行，也可能相交,4直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为.,基础知识梳理,90和0,1(2009年高考山东卷改编)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“m”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A,三基能
3、力强化,2直线a与b垂直，b平面，则a与的位置关系是()Aa BaCa Da或a答案：D,三基能力强化,3.如图，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(),三基能力强化,A平行B垂直但不相交C异面D相交但不垂直答案：B,三基能力强化,4(教材习题改编)ABC中，ABC=90，PA平面ABC，则图中直角三角形的个数是.答案：4,三基能力强化,5已知平面、和直线m，给出条件：m；m；m；.(1)当满足条件_时，有m；(2)当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)答案：,三基能力强化,证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab
4、),课堂互动讲练,(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直,课堂互动讲练,课堂互动讲练,如图所示，AB为O的直径，C为O上一点，AP面ABC，AEBP于E，AFCP于F.求证：BP平面AEF.,课堂互动讲练,【思路点拨】证明BP平面AEF，只需证明AFPB.,课堂互动讲练,【证明】AB为O的直径，C为O上的一点，BCAC.又PA面ABC，BC面ABC，PABC.又PAAC=A，BC平面PAC，,课堂互动讲练,AF平面PAC，BCAF.又已知AFPC，BCPC=C，AF平面BCP，又PB平面BCP，AFPB，又
5、BPAE，AEAF=A，BP平面AEF.,课堂互动讲练,【名师点评】线面垂直的定义，拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线,课堂互动讲练,题目条件不变，图中有几个直角三角形？它们是什么？解：共9个RtPAC，RtPAB，RtPBC，RtABC，RtPFA，RtCFA，RtPEF，RtPEA，RtAEB.,课堂互动讲练,互动探究,证明面面垂直的主要方法是：(1)利用判定定理在审题时要注意直观判断哪条直线,课堂互动讲练,可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论(2)用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角(3)客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个
6、垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2010年陕西西安调研)如图，三棱锥A-BCD中，AD，BC，CD两两互相垂直，M，N分别为AB，AC的中点(1)求证：BC平面MND；(2)求证：平面MND平面ACD.,课堂互动讲练,【思路点拨】由MNBC，知BC平面MND，由BCCD，BCAD，知BC面ACD.,课堂互动讲练,【证明】(1)M、N分别为AB、AC的中点，MNBC.又MN平面MND，BC平面MND.BC平面MND.,课堂互动讲练,(2)BCCD，BCAD，BC平面ACD.又MNBC，MN平面ACD.MN平面MND，平面MND平面ACD.,课堂互动讲练
7、,【名师点评】本题体现了线面转化，同学们可以思考一下，若DNAC，DMAC，我们可以推出几对面面垂直？,课堂互动讲练,将平面图形折叠成立体图形时，应注意折叠前、后哪些量发生了改变，哪些没有发生变化特别应注意寻找折叠前、后的那些没有发生变化的关系和没有变化的量把平面图形的垂直关系运用到空间图形中去，又将空间中的有关问题放到平面中去计算，常可以使问题得以顺利解决,课堂互动讲练,课堂互动讲练,如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD平面BCD，如图.,课堂互动讲练,(1)求证：平面PBC平面PDC；(2)在折
8、叠前的四边形ABCD中，作AEBD于E，过E作EFBC于F，求折起后的图形中PFE的正切值,课堂互动讲练,【思路点拨】根据翻折前后元素的关系变化，结合面面垂直的判定定理求解,课堂互动讲练,【解】(1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BAD=90，所以ABD为等腰直角三角形又因为BCD=45，所以BDC=90.折叠后，因为面PBD面BCD，,课堂互动讲练,CDBD，所以CD面PBD.又因为PB面PBD，所以CDPB.又因为PBPD，PDCD=D，所以PB面PDC.又PB面PBC，故平面PBC平面PDC.,课堂互动讲练,(2)AEBD，EFBC，折叠后的位置关系不变，所以P
9、EBD.又面PBD面BCD，所以PE面BCD.所以PEEF.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【名师点评】翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些变化，哪些不变化，这是至关重要的一般来说，在翻折过程中，处在同一个半平面内的元素是不变的，弄清楚这一点是解决这类问题的关键,课堂互动讲练,对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小关系作出全面认识和正确的推理，再对变化不定的线面关系进行观察，尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进行判断，另外还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、分析、综合、一般化、特殊化等科学的思维方法，
10、才能使开放性问题快速有效地解决,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD.,课堂互动讲练,【思路点拨】对于(1)证出EFCD，从而可证EF面ABC；对于(2)主要在侧面ABC中求AE的长度,课堂互动讲练,【解】(1)证明：AB平面BCD，ABCD，CDBC且ABBCB，CD平面ABC.2分不论为何值，恒有EFCD，4分EF平面ABC，EF平面BEF，不论为何值，总有平面BEF平面ABC.6分,课堂互动讲练,(2)由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，
11、,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【误区警示】对于(2)易错的地方是猜想E点位置为中点，再证平面BEF平面ACD.,课堂互动讲练,(本题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP平面ABCD.,课堂互动讲练,高考检阅,(1)求证：DP面EPC；(2)问在EP上是否存在点F使平面,课堂互动讲练,解：(1)证明：EP面ABCD，EPDP，又ABCD为矩形，AB=2BC，P、Q分别为AB、CD的中点，PQDC且PQ=DC，DPPC，4分又EPPCP，DP面EPC.6分,课堂互动讲练,(2)如图，假设存在点F使平面AFD平面BFC，ADBC，AD平面BFC，A
12、D平行于平面AFD与平面BFC的交线l.8分EP平面ABCD，EFAD，而ADAB，AD平面EAB，l平面EAB，,课堂互动讲练,AFB是平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角，10分P是AB中点，且FPAB，当AFB90时，FPAP，,课堂互动讲练,1空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直它们之间存在相互转化关系：,规律方法总结,2当有面面垂直时，一般是在一个面内找(作)交线的垂线，则直线垂直于面；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决,规律方法总结,3注意掌握以下几个相似结论(1)垂直于同一平面的两条直线平行(2)垂直于同一条直线的两个平面平行(3)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交(4)垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
