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1、第三节 导数与函数的极值和最值,基础知识梳理,1函数的极值(1)函数的极值的概念：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧，右侧，则点a叫做函数yf(x)的，f(a)叫做函数yf(x)的,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,基础知识梳理,函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧，右侧，则点b叫做函数yf(x)的，f(b)叫做函数yf(x)的 极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,基础知识梳
2、理,(2)求函数极值的步骤：；检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取,求导数f(x),求方程f(x)0的根,极大值,极小值,基础知识梳理,方程f(x)0的根就是函数yf(x)的极值点是否正确？【思考提示】不正确，方程f(x)0的根未必都是极值点,思考？,基础知识梳理,2函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤：(1)(2),求f(x)在(a，b)内的极值,将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中,最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,.,基础知识梳
3、理,3生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值,基础知识梳理,(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间,三基能力强化,1(2010年山东烟台模拟)函数yx2cosx在0，上取得最大值时，x的值为_,三基能力强化,2(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则
4、函数f(x)_无极大值点、有四个极小值点有三个极大值点、两个极小值点有两个极大值点、两个极小值点有四个极大值点、无极小值点,三基能力强化,解析：设f(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点答案：,三基能力强化,3已知f(x)ax3bx2x(a，bR且ab0)的图象如图所示，且|x1|x2|，则有a，b的正负情况是_,答案：a0，b0,三基能力强化,4已知函数f(x)x312x8在区间 3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.解
5、析：由f(x)3x2120得x2，又f(3)1，f(3)17，f(2)8，f(2)24，则M24，m8，Mm32.答案：32,三基能力强化,5函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x22axa20有两个不相等的实根，即4a24a80，解得a2或a2或a1,课堂互动讲练,极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小极值在区间端点处不存在,课堂互动讲练,(2009年高考北京卷)设函
6、数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点,【思路点拨】(1)由f(2)0，f(2)8求a，b；(2)求f(x)，讨论单调性,课堂互动讲练,【解】(1)f(x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以解得a4，b24.,(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】求函数的极值，与研究函数的单调性的过程是一致的，为使思路清晰，可以严格按照求极值的步骤来推理，最好以列表格的形式来
7、体现，对含参数的问题，要注意引起讨论的原因再分类讨论极值问题有一类逆向思维的题，即已知函数极值求参数的值，此类题目要充分利用f(x0)0这个条件，其次也要注意单调性对极值的限制,课堂互动讲练,1(2009年高考四川卷)已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)f(x)mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值,跟踪训练,课堂互动讲练,解：(1)由已知，得切点为(2,0)，故有f(2)0，即4bc30.f(x)3x24bxc，由已知，得f(2)128bc5.得8b
8、c70.联立、，解得c1，b1，于是函数解析式为f(x)x32x2x2.,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,课堂互动讲练,已知函数f(x)alnxx2(a为实常数)(1)若a2，求证：函数f(x)在(1，)上是增函数；(2)求函数f(x)在1，e上的最小值及相应的x值；(3)若存在x1，e，使得f(x
9、)(a2)x成立，求实数a的取值范围,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)代入a2，求f(x)；(2)分类讨论；(3)存在即有解，构造函数求最值,课堂互动讲练,(2)f(x)(x0)，当x1，e时，2x2aa2，a2e2若a2，f(x)在1，e上非负(仅当a2，x1时，f(x)0)，故函数f(x)在1，e上是增函数，此时f(x)minf(1)1.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,若a2e2，f(x)在1，e上非正(仅当a2e2，xe时，f(x)0)，故函数f(x)在 1，e上是减函数，此时f(x)minf(e)ae2.综上可知，当a2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当2e2a2时，f(x)的
10、最小值为aln()，相应的x值为；当a2e2时，f(x)的最小值为ae2，相应的x值为e.,课堂互动讲练,(3)不等式f(x)(a2)x，可化为a(xlnx)x22x.x1，e，lnx1x且等号不能同时取得，所以lnx0，因而a,课堂互动讲练,当x1，e时，x10，lnx1，x22lnx0，从而g(x)0(仅当x1时取等号)，所以g(x)在1，e上为增函数，故g(x)的最小值为g(1)1，所以a的取值范围是1，),课堂互动讲练,【点评】一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值yf(a
11、)，yf(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,课堂互动讲练,2(2010年济南市高三模拟)设函数f(x)是定义在1,0)(0,1上的奇函数，当x1,0)时，f(x)2ax(aR)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若a1，试判断f(x)在(0,1上的单调性；(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值6.,跟踪训练,课堂互动讲练,解：(1)设x(0,1，则x1,0)，f(x)2ax，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，当x(0,1时，f(x)2ax，f(x),跟踪训练,2ax(0,12ax+-1,0).,课堂互动讲练,跟踪训练,即f(x)0.f(x)在(0,1上是单
12、调递增函数(3)当a1时，f(x)在(0,1上单调递增f(x)maxf(1)6，,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,本类题主要是指函数方程根的个数或两函数图象交点个数问题，常用构造函数的方法，转化为研究函数极值及图象的相关问题,课堂互动讲练,(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)求f(x)，讨论a；(2)由f(1)0，求出a，求f(x)的极值，观察图象，求m的范围,【解】(1)f(x)3x23
13、a3(x2a)，当a0，当a0时，f(x)的单调增区间为(，),课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1),课堂互动讲练,【点评】用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它首先通过求导，明确函数的单调性以及函数的极值，然后粗略地画出函数的图象，根据函数的变
14、化情况，运用数形结合的思想来确定函数图象与x轴的交点个数,课堂互动讲练,3例3条件不变，若函数f(x)与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围(只写出限制条件不必计算出结果),互动探究,课堂互动讲练,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)(2)求函数的导数f(x)解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上
15、，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)利用相似三角形中线段成比例，表示出线段长；(2)利用导数法求最值,(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AM的长应在什么范围内？(2)当AM，AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积,课堂互动讲练,【解】(1)设AM的长为x米(x3)，SAMPN|AN|AM|，3分由SAMPN32得 32，x3，x216x480，即(x4)(x12)0，312.即AM长的取值范围是(3,4)(12，).6分,课堂互动讲练,当x6时，y0，即函数在(6，)上单调递增，x6时，y0，函数在(3,6)上单
16、调递减，10分当x6时，y 取得最小值，即SAMPN取得最小值24(平方米)，此时|AM|6米，|AN|4米.12分,课堂互动讲练,【点评】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,课堂互动讲练,4(本题满分14分)烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染已知A、B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方
17、成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k)若C是AB连线上的点，设ACx km，C点的烟尘浓度记为y.,自我挑战,课堂互动讲练,(1)写出y关于x的函数表达式；(2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由,自我挑战,解：(1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由ACx(0 x20)可得BC20 x.,课堂互动讲练,自我挑战,依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y，(0 x20).7分,课堂互动讲练,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,规律方法总结,1可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以
18、有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值,规律方法总结,2函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值,规律方法总结,3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,规律方法总结,4闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值5以导数为工具求函数的最值，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
