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1、,第四章 线性方程组,4.1 线性方程组的基本概念,下面将讨论一般线性方程组。,在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的,而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数,不一定相等。,一、线性方程组的几种表示形式,方程组，,需要探讨的问题,是第 i 个方程第 j 个未知量 xj 的系数，,1.线性方程组的一般形式,为常数项。,否则称为齐次线性方程组(或者导出组)。,一、线性方程组的几种表示形式,1.线性方程组的一般形式,一、线性方程组的几种表示形式,2.线性方程组的矩阵形式,简记为,1.线性方程组的一般形式,一、线性方程组的几种表示形式,2.线性方程组的矩阵形式,3.线性方程组的向量形式
2、,令,对于线性方程组,则得到向量形式为,即,将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,若 A X=b 有解，,则 b 可由 线性表示，,故向量组 与 等价，,充分性,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,线性方程组 A X=b 有解的充要条件是,定理,证明,故 b 可由 的线性表示，,则 的极大线性无关组也是,即得 A X=b 有解。,的极大线性无关组，,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,即 A X=b 的解是惟一的。,即存在，使得,(1)若,则 线性无关，,故
3、b 只能由 的惟一地线性表示，,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,证明,故 A X=b 的解不惟一。,(2)若,线性相关，,即存在不全为零的，使得,可见 也是 A X=b 的解，,则,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,对于线性方程组 A X=b，有,(2)当 时，方程组有唯一解;,(1)当 时，方程组有无穷多解;,(3)当 时，方程组有无解。,有非零解,有非零解,二、线性方程组解的存在性与惟一性,3.关于齐次线性方程组的一些结论,(3)若 m=n，即 A 为方阵，则,(1)一定有(零)解。,则必有非零解。,(2)只有零解,只有零解,特别，若 m n，即方程的个数小于未知量的个数，,对于齐次线性方程组 有如下结论：,三、等价的线性方程组,若存在可逆矩阵 P，使 P A=B，则线性方程组,定理,证明,A X=b 与 B X=P b 等价(同解)。,由,由,故线性方程组 A X=b 与 B X=P b 等价。,三、等价的线性方程组,定理的重要意义,则线性方程组 A X=b 与 B X=P b 同解(即解不变)。,称此为线性方程组同解变形。,它是后面(高斯)消元法的基础。,
