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1、线性定常系统的综合,1.状态反馈和输出反馈,2.状态反馈系统的能控性和能观测性,3.极点配置,4.镇定问题,5.状态重构和状态观测器,6.降阶观测器,7.带状态观测器的状态反馈系统,8.解耦问题,状态反馈和输出反馈,线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。,1 状态反馈,其中，K 为 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。,状态反馈和输出反馈,则有,（3）,状态反馈和输出反馈,2 输出反馈,H 为 常数矩阵,（5）,两者比较：状态反馈效果较好；输出反馈实现较方便。,状态反馈的能控性和能观测性,状态反馈的能控性和能观测性,定理 线性定常系统（6）引入状态
2、反馈后，成为系统（8），不改变系统的能控性。,（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性。,极点配置,定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。,因为A 和 b 一定，确定K 就可以配置系统的极点。,极点配置,经过线性变换，可以使系统具有能控标准形。,（13）,极点配置,（15）,引入状态反馈,令,（16）,其中 为待定常数,极点配置,状态反馈系统特征多项式为,（17）,设状态反馈系统希望的极点为,而状态反馈矩阵,镇定问题,镇定问题 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定,显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇
3、定。,那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？,如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态分量是渐近稳定的。,镇定问题,当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为,1）将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵,2）确定，化 为约当形式,3）利用状态反馈配置 的特征值，计算,4）所求镇定系统的反馈阵,镇定问题,解 矩阵A 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为-5，因此，系统可以镇定。,能控子系统方程为,镇定问题,引入状态反馈,其中,为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为,同次幂系数相等，得,状态重构和状态观测器,问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于
4、检测。如何解决这个问题？重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。,状态重构和状态观测器,由（28）式可知，如果适当选择G 矩阵，使(A-GC)的所有特征值具有负实部，则式（27）系统就是式（24）系统的状态观测器，就是重构的状态。,状态重构和状态观测器,定理 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。,状态重构和状态观测器,例 系统方程为,要求设计系统的状态观测器，其特征值为3、4、5。,设：,其中，待定,希望特征值对应的特征多项式,状态重构和状态观测器,而状态观测器的特征多项式,同次幂系数分别相等，可以得出,几点说
5、明：,1）希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。,2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。,3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。,降阶观测器,1.降阶观测器的维数,定理 若系统能观测，且rankC=m，则系统的状态观测器的最小维数是(n-m)。,因为有m 维可以通过观测 y 得到，因此有(n-m)维需要观测。,进行线性变换，,降阶观测器,（31）,得到如下形式的系统方程,降阶观测器,2.降阶观测器存在的条件及其构成,（33）,于是有(n-m)
6、阶的子系统：,（35）,降阶观测器,以下构造这个子系统的状态观测器,（36）,因为子系统能观测，所以，通过选择 的参数，可以配置的特征值。,为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，,（37）,即,降阶观测器,（37）式代入（36），得,因此，是 的估计。,（39）,状态图中,带有状态观测器的状态反馈系统,SISO线性定常系统,（40）,还有,带有状态观测器的状态反馈系统,写成矩阵形式,（43）,带有状态观测器的状态反馈系统,对（43）式进行线性变换，得到如下方程,（45）,（46）,带有状态观测器的状态反馈系统,由上式可见，的特征值与 的特征值可以分别配置，互不影响。这种 的特征值和 特征值
7、可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理。需要注意：的特征值应该比 的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证 尽快跟上，正常地实现状态反馈。,这时传递函数为,解耦问题,线性定常系统方程为,（51）,引入状态反馈,其中K 为反馈阵，F为输入变换矩阵。,（52）,状态反馈系统的传递函数矩阵为,所谓解耦问题，就是寻求适当的K 和F 矩阵使得状态反馈传递函数矩阵 为对角阵。,解耦问题,1 关于 的两个不变量,如果 为严格正则有理传递函数矩阵，可以表示为如下形式,（53）,其中，为 的第 行向量。,解耦问题,例 传递函数矩阵如下，求不变量,对于 来说，因此,约定：对于 为零向量时，,解耦问题,定义2,（55）,这是一个m 维非零向量。它是这样构造的：对于1m 的行向量，各元素分子多项式中最高次幂的系数。,上例中,约定：对于 为零向量时，,解耦问题,2 能解耦性判据,定理 一个具有传递函数的系统，能用状态反馈实现解耦的充分必要条件是以下矩阵非奇异。,（56）,解耦问题,例 系统方程如下，要求用状态反馈实现系统解耦。,解耦问题,3）,因此,解耦问题,4）状态反馈的方程为,上面介绍的是积分解耦系统。而对于实际工程系统来说，要求系统为李亚普诺夫意义下渐近稳定。,
