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1、微分方程模型,西北大学数学系,-,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。,西北大学数学系,-,建立微分方程模型的方法,（1）根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,西北大学数学系,-,（3）模拟近似法,
2、在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,西北大学数学系,-,微分方程模型,古尸的年代鉴定问题伪造名画案放射性核废料处理问题流入-流出问题人口问题生物种群模型兰彻斯特（Lanchester）作战模型,西北大学数学系,-,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活
3、在多少年前？,一 古尸年代鉴定问题,西北大学数学系,-,年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。,背景,西北大学数学系,-,宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的。从古至今，碳 不断产生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。大气中 处于动态平衡状态，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。,基本原理,从星际空间射到地球的射线,裂变速率与剩余量成正比。Kc14=1/80
4、00,设 t 为死后年数，,建模,西北大学数学系,-,西北大学数学系,-,年代测定的修订：,1966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期间的年代：真正的年代,年代测定方法的基本原理；放射性元素衰变规律。,注意：,西北大学数学系,-,以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水
5、深为300英尺的海里。,1 问题（这是一场笔墨官司）:,生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？,美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。,又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？,美国原子能委员会：决不会。,二 放射性核废料处理问题,西北大学数学系,-,圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？,若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂。,这几位工程师通过大量的实验证明:,通过建立数学模型来解决这一问题。,西北大学数学系,-,一些参数及假设：,假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即,西北大学数学系,-,受力
6、分析：,x,y,G,f,o,2 建模与求解,西北大学数学系,-,根据牛顿第二定理,可解得：,极限速度为：,西北大学数学系,-,将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y)，由于,代入：,西北大学数学系,-,其解为：,仍未解出 v 是 y 的显函数。,西北大学数学系,-,由近似公式,西北大学数学系,-,3 结论：,若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。,这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。,我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污
7、染。,4 注意：,求解过程,方程变形，近似计算,西北大学数学系,-,讨论,1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？,已知碳-C14的半衰期为5730年。,西北大学数学系,-,第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为
8、了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。,三 范.梅格伦（Van Meegren）伪造名画案,西北大学数学系,-,为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，Vanmeegren在狱中作的
9、画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。,西北大学数学系,-,原理,著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。,设 时刻的原子数为，则有,为物质的衰变常数。,初始条件,西北大学数学系,-,半衰期,碳-14,铀-238,镭-226,铅-210,能测出或算出，只要知道 就可算出,这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。,断代。,西北大学数学系,-,油画中的放射性物质,白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭
10、(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。,西北大学数学系,-,（放射性）,（无放射性）,西北大学数学系,-,假设,（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。,（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅
11、中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。,西北大学数学系,-,建模,设 时刻每克白铅中含铅210的数量为，,为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。,为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量,西北大学数学系,-,求解,均可测出。,可算出白铅中铅的衰变率，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。,矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。,西北大学数学系,-,测定结果与分析,西北大学数学系,-,若第一幅画是真品，,铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。,同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。,西北大学数学系,-,一截面
12、积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。,通过解决此问题想到什么？,四 流入-流出问题,B,A,第一步列方程,等量关系：,水面1,水面2,设时刻 的水面高度为,时的水面高度为,时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。,是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离,初始条件,可分离变量的方程。,西北大学数学系,-,第二步解方程,水面高度与时间的函数关系,水流空所需时间为（令 h=0）,西北大学数学系,-,某大楼人员的安全疏散问题,1 大楼所容纳的人数全部走出所用的时间？2 两大
13、因素：人走出的速度？出口的设置？,西北大学数学系,-,思考1,一截面积为常数A，高为H的水池，其池底有一横截面积为B的小孔，水池顶部有进水孔，单位时间进水量为 V，从小孔流出的水速为，求在任一时刻的水面高度（设开始时水池水的高度为）。,西北大学数学系,-,等量关系：,水池的积水量=进水量-出水量。,时间的,初始条件,可分离变量方程,西北大学数学系,-,平衡高度,西北大学数学系,-,当,其中,西北大学数学系,-,当,其中,西北大学数学系,-,当,水池水面高度保持平衡高度，即此时流入池中水量等于流出的水量。,西北大学数学系,-,单位人员管理问题,合理安排进人速度和出人速度，使得单位人员的利用率达到
14、最高。,单位资金管理问题,当收入资金速率一定时，合理安排支出，使得在某段时间内资金积累达到所需要求。,西北大学数学系,-,森林管理问题,主要协调植树和用材的关系，使得森林发挥其应有的作用。,渔业管理问题,每年捕捞的速率控制在多少时，既能保持持续发展，还能有较大的收获量。,交通管理问题等,西北大学数学系,-,思考2,屋檐的水槽问题,房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在,b,a,西北大学数学系,-,房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。,现有
15、一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。,b,a,西北大学数学系,-,1 问题的简化,水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。,从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。,水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。,西北大学数学系,-,2 假设,（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上；（2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）直接落入水槽中的雨水可忽略不计；（4）落
16、在房顶上的雨没有溅到外面去；（5）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等。,西北大学数学系,-,3 符号说明,4 模型的建立,根据速度平衡原理，对于房顶排水系统,水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度-排水管流出的速度,分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。,西北大学数学系,-,表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，,雨,水流,b,房顶的面积,实际受雨的水平面积,房顶上雨水的流速,流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量,西北大学数学系,-,排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关,根据能量守恒原理,西北大学数学系,-,水槽中水的体积为,h,西北大学数学系,-,西
17、北大学数学系,-,5 模型的求解与分析,西北大学数学系,-,思考3,街道下水道的布局问题,西北大学数学系,-,降雨时期，街道积水达到一定程度，不但给过往行人、车辆带来不便，而且容易引发交通事故。通常，在降雨强度不大的情况下，街道下水口能发挥很好的作用，然而在暴雨天气，有些街道就会积水成河，造成交通阻塞等危害。合理的下水口布局应当是在强降雨情况下，也能保证街道上积水适量，不至于影响正常的行人及车辆通行。可以想象，街道上的下水口愈多，单位时间排走的雨水也就愈多，但同时，安装下水口及与之相应的铺设下水管道的费用也就愈多。因此，合理布局街道（特别是一些路况复杂的街道）下水口是城市道路建设中的重要问题。
18、,试解决以下两个问题：1在费用尽可能少的情况下，如何合理布局街道下水口，才能在强降雨时期避免水灾；2现在测量得到西安市的四条含交叉路口（小寨十字路口）的街道下水口布局情况，请研究其布局是否合理，若不合理，请给城市道路管理部门提出合理化建议（已知小寨南路南端比十字路口高1米，小寨北路北端比十字路口高0.8米，小寨东路东端比十字路口高0.5米，小寨西路西端比十字路口高0.4米）。,讨论课,1 平板车装箱问题,2 揪出泄密三人帮,讨论课,有7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以 kg 计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及
19、数量。每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40T。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数由一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。,1 平板车装箱问题,美国纽约大学库兰特研究院的计算机科学系某教授，主要从事谜题的设计及破解。最近他出版了一本艾科博士的网络谜题：给骇客与数学侦探的36道谜题(w.w.Norton,2002)。,2 揪出泄密三人帮,某政府首长的九位顾问有三个泄密者，为了找到泄密三人帮，这位首长决定：每天透露一份消息给四位顾问，如果消息走漏了，他再针对这可疑的四位顾问，一次透露消息给其中三人知道。他有两个目标：
20、第一，最多只能走漏两次消息，一次在四人组合，另一次顶多是在三人组合时；第二，他希望能找出一系列恰当的四人组合，既保证他能找到想要的四人组合，因此找到其中泄密的三人帮，而且他还希望提供消息的次数不超过25次。,我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。,五 追线问题,西北大学数学系,-,1.模型假设：,缉私舰、走私船的大小相对其运动范围小得多，可视为两个质点。,2.模型建立：,选取走私船逃跑的方向为,轴方向，缉私舰在,位置发现走私船在,处。,设在缉私舰
21、发现走私船时算起的时间为,，走私,船到达,点，缉私舰到,因直线,与路线相切，由几何关系得,西北大学数学系,-,或,为消去,，先把上式对,微分，得到,代入,得到,o,x,y,R,D,西北大学数学系,-,在上式中有负号是因为,随,的减小而增大，结合,前两式，得到追线的微分方程,其中，,，上式不显含,，令,及,则上式可化为,两端积分并利用初始条件：,时，,得到,从而,要继续求,是,的怎样一个函数，必须进一步确定,。,。,（1）若,，从而,，积分上式得,当,时，,西北大学数学系,-,即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离为,所用的时间是,（2）若,，即,，可得,显然，,不能取零值，即缉私舰不可能追上走私船
22、。,（3）若,，即,，显然，缉私舰也不可能追,上走私船。,当,时，,西北大学数学系,-,确定连接两定点 A，B 的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点（忽略摩擦力和阻力）。,六 最速降线问题,西北大学数学系,-,1.模型分析：,也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。,Ao,x,y,B,西北大学数学系,-,2.模型建立：,如上图取坐标系，并设想质点（象光线那样）能选择它从A滑到B的路径，使所需时间尽可能
23、短，按照光学原理（史奈尔折射定律）得出,（常数）,据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线无关，设质点质量为,，重力加速度为,，质点从,A下滑至,点时速度为,，则,或,从这里的几何关系得,西北大学数学系,-,这些方程分别来自光学、力学、微积分，结合起来，得到,这就是速降线的数学模型-微分方程。,3.模型求解：,我们要求解上面微分方程，将上式变形为,西北大学数学系,-,令,从而，,故,积分后得到,这曲线过原点，故由上面第一式得，,时，,于是，,。这样,而,西北大学数学系,-,若令,，则联立上两式得,这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为,的圆,周
24、上一点沿,轴滚动产生的。见图。,o,y,x,西北大学数学系,-,需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的,值只有一,个，因若让,从0增到,，这一拱弧就逐渐膨大，扫过,整个第一象限，因而若适当选取,，就能使它通过B。,5.模型评价：,这是伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里隐藏的简单性。,4.结论：,西北大学数学系,-,又由弧长微分,得,从而整个下降时间是,的积分，故需取极小值,的积分是,这是泛函的极值问题，令,6.模型的进一步思考：,用变分法同样可以得到速
25、降线的数学模型。,以,表示曲线从A点算起到,的弧长，有,即,这可化简为,这和伯努利解法的结果相同。,由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足的欧拉方程为：,西北大学数学系,-,七 人口模型,简单模型Malthus 模型Logistic模型,西北大学数学系,-,人口问题,问题的提出 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。建模准备 资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。,西北大学数学系,-,1800,
26、10,人口（亿）年,1930,20,1960,30,1974,40,1987,50,1999,60,2033,100,我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：,1760,2,人口（亿）年,1900,4,1953,6,1974计划生育,9.2,1990,11.6,2005,13,联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。,1989,11,1995,12,西北大学数学系,-,三 建立模型,1 简单模型,要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）,一年后，人数增加到,k 年后，人口数为,若想知道任何时刻的人口数，怎么办？,对时间连续化！,两年
27、后，,2 Malthus 模型,马尔萨斯(Malthus 1766-1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的 人口指数增长模型。基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。,设 净相对增长率为，时刻人口总数为。,经 时间后人口总数为,西北大学数学系,-,Malthus 模型,求解,西北大学数学系,-,o,t,N,N0,分析,数据表明，在17001961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。,按模型计算，取,问题：利用此模型能预测未来吗？,西北大学数学系,-,1）1960年世界人口总数为
28、30亿，按Malthus 模型计算，到2692年人口总数将增至,地表面积为,平方英尺，其中只有28%的陆地,表明给每人1 平方英尺（约为9.3 平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3 层以上。,2）资源能否提供保证如此多人口的需要？,以上两点说明，Malthus 模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。,西北大学数学系,-,如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符
29、合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对增长率为常数的假设。,3 Logistic模型（阻滞增长模型）,假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。,r 表示人口的自然增长率。,令Nm为人口的最大容纳量，那么,即,阻滞因子,Logisitic模型,求解,o,N,t,N,o,N0,Nm,Nm/2,tm,人口增长最快点,结论：,在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。,-Logisitic模型,调整，可使阻滞因子变大或缩小。,更复杂的人口模型,Gompertz模型,西北大学数学系,-,人口模型的推广,放射性元素的衰变规律（检验名画的真
30、伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）,Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。,Usher模型,生物种群模型,1 简介,种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。,种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。,种群分为单种群和多种群。,单种群的数学模型：,1)马尔萨斯(Malthus)模型,表示 时刻的种群数量
31、，称为内禀增长率。,2)罗杰斯特(Logistic)模型,表示该种群的最大容纳量。,应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性，岩石的剥蚀与沉积，高山的隆升，新产品的推销，流行病的传播，谣言的传播等问题。,西北大学数学系,-,2 两种群的一般模型 两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在 时刻的数量为，则线性化，得,西北大学数学系,-,表示甲（乙）种群的自然生长率；表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。,西北大学数学系,-,3 三种群的
32、一般模型,三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：,相互竞争、相互依存、弱肉强食。,三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。,这些模型用方程组表示，或用图形表示。,记三个种群分别为,1,2,3,并约定,1）种群 供食于种群 表示为,1,2,1,2,2）种群 为密度制约可表示为,1,1,3）种群 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，,1,1,4）种群 与种群 相互竞争：,1,2,1,2,5）种群 与种群 互惠共存：,1,2,1,2,）,如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个
33、食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。,C,B,A,C,B,A,C,B,A,西北大学数学系,-,下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）,（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。,设 A，B，C t 时刻的密度分别为,假设：C 种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：,西北大学数学系,-,C,B,A,（,）,西北大学数学系,-,（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。,A,C,B,（,）,西
34、北大学数学系,-,A,C,B,）,西北大学数学系,-,A,C,B,）,）,）,（2）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。,西北大学数学系,-,A,C,B,）,）,）,西北大学数学系,-,A,C,B,）,）,）,西北大学数学系,-,A,C,B,）,）,）,西北大学数学系,-,3 竞争系统问题：甲、乙两种群，生活在同一自然环境下，争夺有限 的同一种食物。试建立数学模型，预测演变的最后结局。假设 甲、乙两种群服从Logistic规律，则其模型为,分别表示甲、乙两种群的最大容纳量，表示一个乙（甲）消耗的资源相当于 个甲（乙）所消耗的资源。令，若 表明竞争 非常激烈。,4 分析讨论（用定性理论方法）,1
35、)易求得奇点为2)考察对应的线性系统,的特征值为 均大于零，是不稳定的结点；的特征值为，所以，当即，为稳定的结点；当，为鞍点；的特征值为，所以，当 为稳定的结点，为鞍点。,o,鞍点,稳定结点,不稳定结点,奇点的性态和轨线走向,奇点的性态和轨线走向,o,不稳定结点,鞍点,稳定结点,综合考虑，当 时，当 时，3)考虑原竞争系统(1)由一次近似理论的定理，系统(1)与其 线性系统在奇点的性态相同。结论：当两种生物在同一生存环境中相互竞争时，且 其结果必是一种生物灭绝，而另一种趋于环境容许的最大数量，具体结果则取决于 的大小，条件 表明：在一个乙的存在对资源的消耗相当于 个甲的条件下，资源所能供养的甲
36、的最大数量大于能供养乙的最大数量的 倍，即甲对资源的竞争能力超过乙时，甲占优势，最终获胜。,思考题1 对于竞争系统讨论 的情形。,西北大学数学系,-,天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载：“受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”,2 草原命运,为了天然草原的生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原
37、生长的影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？（3）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案，并对挽救效果进行预测。,西北大学数学系,-,一 问题的提出 第一次世界大战期间，战争给人们带来了许多灾难。一场战争的结局怎样，是人们关心的问题，同样也引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争的胜负吗？F.W.Lanchester 首先提出了一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。Lanchester作战模型虽然比
38、较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例。,八 兰彻斯特（Lanchester）作战模型,分析：影响战争的因素：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等。抓主要矛盾：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术。若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题。,问题：两军对垒，甲军有 个士兵，乙军有 个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局。,假设：甲、乙双方的战斗力完全取决于两军的人数。设 时刻甲、乙双方的人数分别为 2)甲、乙双方人员的变化主要是战斗减员、非战斗减 员和增援
39、部队。以甲方为例，设 分别表示非战斗减员率、战斗减员率和增援率。则有3)假设,i)正规战争：甲方的战斗减员率与乙方的士兵数成正比，即，表是乙方每个士兵对甲方士兵的杀伤力，称为乙方的战斗有效系数。进一步可分解为 乙方的射击率（单位时间内乙方每个士兵的射击次数）乙方每次射击的命中率。ii)游击战：甲方的战斗减员率不仅与乙方的士兵数成正比，而且与甲方士兵数成正比，即 而乙方的战斗有效系数可分解为 表示甲方士兵的活动范围的面积；表示乙方每个士兵每次射击的有效区域的面积。,3 建模正规战争：正规部队与正规部队作战2)游击战争：游击队与游击队作战3)混合战争：正规部队与游击部队作战,西北大学数学系,-,求
40、解与分析不考虑增援，即孤军作战；同时忽略非战斗减员。正规战争 其奇点 为鞍点。即轨线方向沿此直线指向原点，双方战平。轴为虚轴，轨线与 轴有交点，即存在，使，这表明乙方获胜;同理可知当，甲方获胜。,西北大学数学系,-,西北大学数学系,-,进一步分析乙方取胜的条件当即乙方想要获胜必须增加最初战斗力和战斗有效系数。当 增加2倍时，也增加2倍；当 增加2倍时，却增加4倍。这正是两军作战时Lanchester平方定律的意义，说明兵员增加战斗力大大加强。现在，解决开始所提的问题。问题：两军对垒，甲军有 个士兵，乙军有 个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局。,西北大学数学系,-,若因此，甲军胜利，乙军失败。存在时刻当 时，由计算得即甲军战死13人，乙军50人全军覆灭。,西北大学数学系,-,2)游击战争,西北大学数学系,-,3)混合战争（甲方为游击战，乙方为正规战）,若以正规部队作战的乙方火力较强，但其对方活动范围较大。可设则即，乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜。美越战争中，美国最多能派出6倍于越南的兵力，因此结局是美国不得不接受和谈并撤军，而越南获胜。,
