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1、第三篇 动力学,第十章 质点动力学的基本方程第十一章 动量定理第十二章 动量矩定理第十三章 动能定理第十四章 达朗伯原理第十五章 虚位移原理,第十四章 达朗贝尔原理(动静法),本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原理。,应用这一原理，可以将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静法。,141 惯性力 质点的达朗贝尔原理 142 质点系的达朗贝尔原理 143 刚体惯性力系的简化,第十四章 达朗贝尔原理(动静法),5,FN,14-1惯性力 质点的达朗贝尔原理,设质点M，质量为m，受主动力，约束反力。根据质点动力学第二定律：,可改
2、写成：,假想FI 是一个力，上式在形式上是一个平衡方程。,FI 称为质点的惯性力（Force of Inertia），大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。,6,质点的达朗贝尔原理：,如果在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。,注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，而且质点并非处于平衡状态。,7,该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。,8,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，
3、当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。,9,选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力,角随着加速度 的变化而变化，当 不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。,解：,由动静法,有,解得,10,对整个质点系，作用于质点系上所有的主动力、约束反力与假想地加在质点系上各质点的惯性力，在形式上组成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。可用方程表示为：,设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有,如将质点系受力按内力、外力划分,又因为,14-2 质点系的达朗贝尔原理,则：,例1,滑轮的半径为r，物块A、B的质量分别为m1、m2，滑轮上作用一力
4、偶M，设绳子不可伸长，不计绳子和滑轮的质量，求物块A的加速度和轴承O的约束反力。,A,r,B,O,解：,取滑轮和物块A、B为研究对象：,M,惯性力,在本题中不计滑轮的质量，如果要考虑滑轮的质量，则如何计算？,13,14-3 刚体惯性力系的简化,应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力，这些惯性力组成一个惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力系的简化方法将刚体的惯性力系进行简化，这样在解题时就可以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。,常见的刚体的运动有平动、定轴转动和平面运动,1
5、4,这个力系简化为通过质心C 的合力：,刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一质点的惯性力，组成一同向的平行力系。,一、刚体作平动,15,结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。,16,主矢：,设刚体有对称平面，且转轴垂直于该对称平面，如皮带轮、齿轮、砂轮等。,二、刚体绕定轴转动,此惯性力系为空间力系，利用对称性可以简化为在对称平面内的平面力系。,主矩：,再向转轴z与对称平面的交点O点简化：,对时间取二阶导数，得,FIi,结论：,向O点简化结果为,18,向质心C点简化：,19,假设刚体具有对称平面，并且平行
6、于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。,刚体平面运动可分解为随基点（质心C）的平动和绕基点的转动：,三、刚体作平面运动,20,均质杆长l,质量m,杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,选杆AB为研究对象 向A点虚加惯性力系：,解：,根据动静法，有,例1,21,22,用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：,解：选AB为研究对象,由,得：,质心的加速度：,23,由质心运动定理：,24,牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮
7、盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,取轮为研究对象 虚加惯性力系：,解：,由动静法，得：,例2,25,由(1)得,26,由(2)得:N=mg+S,可见，f 越大越不易滑动。Mmax的值为上式右端的值。,把(5)代入(4)得：,要保证车轮不滑动，必须 Ff N=f(mg+S)(5),27,根据达朗贝尔原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。,达朗贝尔原理的应用,应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形
8、式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,28,(1)选取研究对象。原则与静力学相同。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,(4)虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。,(3)运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。,(2)受力分析。画出全部主动力和外约束反力。,29,(5)列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。,注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。,(6)建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系
9、）。,(7)求解求知量。,解：取杆为研究对象,由质心运动定理：,均质杆OA，质量为m，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。,由定轴转动微分方程：,例6,a,mg,应用达朗贝尔原理解：取杆为研究对象,列平衡方程：,向质心虚加惯性力和惯性力偶：,例14-6(P329),绞车和梁合重P，绞盘的转动惯量为J，以加速度a提升重物。重物的质量为m，绞盘的半径为r，求由于加速提升重物而对支座A、B的附加压力。,解：取梁、绞车和重物为研究对象，施加支座约束力和惯性力,列平衡方程：,解得：,附加反力：,附加反力决定于惯性力系。,例13-7(P330),均质圆盘质量为mA，半径为r，细长杆长l=2r
10、，质量为m，A点为光滑铰链联接，作用力F，轮子作纯滚动。问：(1)F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？(2)为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数 应为多大？,解：运动分析,（AB杆作平动）,AB杆,整体,受力分析和施加惯性力,整体,要求只滚不滑：,38,质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取整个系统为研究对象,解：,方法1 用达朗伯原理求解,例1,39,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程：,代入上式得：,40,方法2 用动量矩定理求解,根
11、据动量矩定理：,取系统为研究对象,41,取系统为研究对象，任一瞬时系统的动能：,方法3 用动能定理求解,42,两边除以dt，并求导数，得,43,在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体重为P，半径均为R，质量均匀分布；鼓轮O重为Q，半径为R，质量均匀分布；绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,例2,44,取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶M IA如图示。,方法1 用达朗伯原理求解,解：,45,列出动
12、静方程：,运动学关系：,将MIO、FIR、MIA 及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,46,代入(2)、(3)、(5)式，得：,47,(1)用动能定理求鼓轮角加速度,方法2 用动力学普遍定理求解,取系统为研究对象,48,两边对t求导数：,49,(2)用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）,(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力,取轮O为研究对象，由动量矩定理得,取轮O为研究对象，根据质心运动定理：,50,(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力,方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力、轴承O处反 力 和 及摩擦力）。,取圆柱体A为研究对象，根据刚体平
13、面运动微分方程,51,均质圆柱体质量为m，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。,解：(1)用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为：,例3,mg,52,主动力的功：,由动能定理 得,对 t 求导数，则：,(2)用达朗伯原理求约束反力,取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MIC,MIC,mg,53,MIC,列出动静方程：,mg,54,MIC,mg,55,绕线轮重P，半径为R及 r，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。,解：用达朗伯原理求解 绕线轮作平面运动（纯滚动）,由达朗伯原理，得,将FIR、MIO代入上式，可得,例4,56,纯滚动的条件：F f N,57,2.匀质轮质量为m，半径为 r，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度，角加速度为，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。,解：,FIC,MIC,mg,58,59,1.物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F？,思考题：,解：,Fg,
