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1、F(x)=PXx(-x+),分布函数,PXb=F(b)PXa=1-PXa=1-F(a),x,0,f(x),下面根据这些数据绘制频率分布直方图,从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中,间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，,往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称,样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小,矩形就变窄设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，,那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑,函数,恰好是位于曲线与x轴之间，直线xa左侧部分图形的面积,一、定义 如果对于随机变量X的分布函数，
2、存在非负可积函数f(x)，使对任意实数x，有,则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度。,二、性质(1)f(x)0,2.3 连续型随机变量及其概率密度,二、性质,(4)在f(x)的连续点处有：,(6)连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.,由性质(6)可得：,(5)连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而且是连续函数。,连续型,密度函数 X p(x),2.,4.P(X=a)=0,离散型,分布列:pn=P(X=xn),2.F(x)=,3.F(a+0)=F(a);P(aXb)=F(b)F(a).,4.点点计较,5.F(x)为阶梯函数。,5.F(
3、x)为连续函数。,F(a0)=F(a).,F(a0)F(a).,例1 设随机变量的概率密度函数为(x)=Ae-|x|（-x+）试求:(1)常数A；(2)P0X2；(3)分布函数F(x).,解(1)由,得：,故：A=0.5；,(2),(3),当x0时，,当x0时,即X的分布函数为,练习1,设 X,求(1)常数 k.(2)F(x).,(1)k=3.,(2),解：,练习2,设 X,求 F(x).,解：,设X与Y同分布，X的密度为,已知事件 A=X a 和 B=Y a 独立，,解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且 P(AB)=3/4,求常数 a.,
4、且由A、B 独立，得,=2P(A)P(A)2=3/4,从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a 2,因此 1/2=P(A)=P(X a),练习3,1、均匀分布 如果随机变量X的概率密度为,则称X在区间a,b上服从均匀分布。记为 XUa,b,可知X落在a,b内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关,2.3.2 常见的连续型随机变量的分布,分布函数为：,X U(2,5).现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.,解：,记 A=X 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3,设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3,2/3)，
5、所求概率为,P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例3,2.指数分布,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为的指数分布。记作XE().,其分布函数为,若随机变量X的密度函数为,其中0是常数，则称X服从参数为的指数分布。记作XE().,分布函数为,指数分布的另一种表示形式,指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布,特别：指数分布具有无忆性，即：,P(X s+t|X s)=P(X t),例4 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：h）服从指数分布，其概率密度为,（1）该热水器在100 h内需要维修
6、的概率是多少？,（2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？,解,（1）,（2）,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,3.正态分布,1.定义 若X的概率密度为,分布函数为：,其中,(0)为常数，则称X服从参数为,2的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X N（,2）,2.正态分布的密度函数f(x)的图形的性质,(1)f(x)关于 是对称的.,f(x),x,0,在 点 p(x)取得最大值.,(2)若
7、 固定,改变,(3)若 固定,改变,大,f(x)左右移动,形状保持不变.,越大曲线越平坦;,越小曲线越陡峭.,(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0,1),密度函数记为(x),分布函数记为(x).,证明：,3.查标准正态分布函数表计算概率,4)P|X|1.54=1-P|X|1.54=1-0.8764=0.1236,例5 设XN(0,1),计算PX2.35；P-1.64 X0.82；P|X|1.54；P|X|1.54,1）PX2.35=(2.35)=0.9906,2）P-1.64 X0.82=(0.82)-(-1.64),=(0.82)-1-(1.64)=0.7434,3)P|X|1.54=
8、(1.54)-(-1.54)=2(1.54)-1=0.8764,例6 设随机变量,求,解,例7（3原则）设X N(,2)，求 P|X-|,P|X-|2,P|X-|3，,解 P|X|=PX+,在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以为中心，3为半径的区间(-3,+3)内的概率相当大(0.9974)，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不计。,在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略|X|3的值。如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,设 X N(,2),P(X 5)=
9、0.045,P(X 3)=0.618,求 及.,例8,=1.76=4,解:,例9 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数=0.05kg的正态分布.为了使重量少于0.5kg的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值参数调节到什么位置上？,解 由题设知,假如把自动包装线控制的值调节到0.5kg位置，则有,即重量少于0.5kg的罐头占全部罐头数的50%，这显然不符合要求.所以应该把自动包装线控制的值调到比0.5kg大一些的位置，使得,查附表1可得,即,应将调到不小于0.5645的位置.,已知 X N(3,22),且 PXk=PXk,则 k=().,3,课堂练习(1),设 X N(,42),Y N(,52),记 p1=PX 4，p2=PY+5,则()对任意的，都有 p1=p2 对任意的，都有 p1 p2,课堂练习(2),设 X N(,2),则随 的增大，概率 P|X|()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,课堂练习(3),
