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1、2023年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在第磔纸指定位置上.)(1)已知当Xfo时，/(x)=3SinXsin3犬与以“是等价无穷小，则()（八）Z=l,c=4.(B)k=yc=.(C)Z=3,C=4.(D)k=3,c=-4.jcf(x)-2f(x,(2)已知在X=O处可导，且O)=0,则1盘一口=()()-2/(0).(B)-/(O).(C)/(O).(D)0.(3)函数/(幻=Inl(XT)(X-2)(x-3)的驻点个数为()（八）0.(B)1.(C)2.(D)3.(
2、4)微分方程/-22y=+e-x0)的特解形式为()（八）aex+ex).(B)ax(ex+ex).(C)x(aex+bex).(D)x1(aex+hex).(5)设函数/(x),g(x)均有二阶连续导数，满意/(0)0,g(0)0,且/(0)=g(0)=0,则函数Z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得微小值的一个充分条件是()（八）/(0)0.(B)/70)0,g(0)0,(0)0.(D)/(0)0,g(0)v0.设/=JjInsinxdt,7=JIncotxtZx,K=Jjlncosxdv,则/,/,K的大小关系是()（八）IJK.(B)IKJ.(C)J1K.(D)KJ090,x0,20
3、,则 J , xfxdx =(13)设平面区域。由直线y=x,圆金+产=2)，及y轴围成，则二重积分j.i)=.D(14)-S/(x1,x2,x3)=+3xJ+2xix2+2xlx3+2x2x3,则/的正惯性指数为.三、解答题(1523小题，共94分.请将解答写在答朗纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)ln(l+rMr已知函数/(%)=包，设Iim/(X)=Iim/(X)=O,试求。的取值范围.XaXA0*(16)(本题满分11分)x=-tr+-,设函数y = y)由参数方程，:；确定，求y=y(x)的极值和曲线1,31y=-t-t+-,33y=y
4、()的凹凸区间及拐点.(17)(本题满分9分)设函数Z=Uy,yg(x),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(%)可导且在X=Io2处取得极值g(l)=l,求kkxy(18)(本题满分10分)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线/:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记为曲线/在点(x,y)处切线的倾角，若华=孚,求y(x)的表达式.dxdx(19)(本题满分10分)(I)证明：对随意的正整数，都有一Lln(l+L)(33)与尤2+、2=i(y1)连接而成的.(I)求容器的容积；（三）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少须要做多少功？(长度单位：，重力加速度为gm/$2,水的密度为10g
5、/m3).(21)(本题满分11分)已知函数/(x,y)具有二阶连续偏导数,且/(1,y)=0,/(x,l)=0,(x,y)dxdy=Q,D其中0=(x,y)0xl,0yl,计算二重积分/=口初图1/)公力，.D(22)(本题满分11分)设向量组%=(1,0,1)7,4=(0，1，1尸，=(1，3,5)7,不能由向量组4=(IJl)T,分2=(1,2,3)7,A=(3,4,)7线性表示.(I)求。的值；(II)将4,夕2,夕3由线性表示.(23)(本题满分11分)r1f-11、A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,即r（八）=2,且Aoo=O01JUL(I)求4的特征值与特征向量;(II)求矩阵A.
6、2023年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)【答案】(C).r.n,r-E、1，3sinX-sin3x,.3sinx-sinxcos2x-cosxsin2x解析因为Ilm：=Iim；a。exr0CX1.sinx(3-cos2x-2cos2x)3-cos2x-2cos2x=Iim；=Iim-KTOckx0CX3-(2cos2x-1)-2s2x4-4cos2x1,4sin2x=Iimr=Iim=Iimr-r-xoc,XTocxkic,1.41=Ii
7、m-=1.xC?一所以c=4,Z=3,故答案选(C).(2)【答案】(B).【解析】IimXv(X)-27(巧= IimXTo/(力/(0)2/(炉)+ 27X3=Iim0“x)r(o)/M)T(O) 2=(0)-2(0)=-(0).故答案选(B).(3)【答案】(C).【解析】/(x)=lnx-l+lnx-2+lnx-3尸(X)=一+x-1x-2x-33x2-12x+11(x-l)(x-2)(x-3)令/0=0,得b=W叵，故/3）有两个不同的驻点.（4）【答案】（C）.（解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2-2=0,解得特征根ri=,r2=-.所以非齐次方程V-2y=ex有特解M=
8、X,非齐次方程y-2y=有特解y2=xbex,故由微分方程解的结构可知非齐次方程y,-2y=ex+e-x可设特解y=xaex+bexY(5)【答案】（八）.【解析】由题意有年=r*)g(y),当=f()g(y)oxoy所以，包=r(0)g(0)=0,当=(0)g,(O)=0,即(0,0)点是可能的极值点.班(0.0)小他。)又因为g4=f()g(y),2=r()g(y),哈=g(y)(),oxxyy所以，A=*Igo)=Jr(O)g(0),B=U=(0)(0)=0,xoxyC=ZTho)=f()g(),依据题意由(O,O)为微小值点，可得4。-82=4。0,且4=/(0)超(0)0,所以有C=
9、F(O)g(0)0.由题意F(O)0,g(0)v0,所以广(O)VO,g(0)0,故选（八）.(6)【答案】(B).【解析】因为OVX工时，Ovsinxvcosxvlvcotx,4又因InX是单调递增的函数，所以InSinjIVlnCoSX即鸟B=E,故B=ET=巴.因此，A=P2P;1,故选(D).(8)【答案】(D).【解析】由于(1,0,LO)7是方程组AX=O的一个基础解系，所以A(l,0,l,0)7=0,且r（八）=4-l=3,即4+%=。，且IH=0.由此可得A*A=AE=。，即A,(aa2,a3,a4)=Ot这说明因,%，%,%是A-=O的解.由于r（八）=3,z1+a3=0,所
10、以%，。3，。4线性无关.又由于A)=3,所以r(A4)=l,因此A*x=0的基础解系中含有4一1=3个线性无关的解向量.而%，%，出线性无关，且为AZ=O的解，所以%，4，%可作为A=0的基础解系，故选(D).二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)【答案】2.Iim(Iixl-I)IIim上1Iim生出Ln2【解析】原式二夕-2r=ei)2x=夕52=e2(10)【答案】y=e-sinx.【解析】由通解公式得y=e(Jexcosxddx+C)=ex(cosxdx+C)=r(sinx+C).由于y(0)=0,故C=0.所以y=eTsinx.(11)
11、【解析】选取X为参数，则弧微元杰=Jl+(y)N=JlftaYxdr=SecMr所以s=secAzZx=ln卜ecx+tan出=ln(l+2).(12)【答案】1.2【解析】原式=xexdx=-xde-x-f%- = -lim-0-lIr=-Iim+8 AeIim -T- - e0X+2=67(14)【答案】2.【解析】方法1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数.二次型/对应矩阵为A= (-l)(2-4),-22故4=0,4=1,4=4.因此/的正惯性指数为2.方法2：）的正惯性指数为标准形中正的平方项个数.= (xi +x2 +x3) + 2%2，/(p,)=片+3考+W+2x1x
12、2+2x1+2x,ay=xl+x2+x3,y2=x2,则=Xz+2y)故/的正惯性指数为2.三、解答题（1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）体题满分10分）ln(+t2)cltex【解析】假如0时，Iim虫=Iimx-aln(l+r2)=+,XMX+OOJo明显与已知冲突，故白0.HnlUxo* D- ax当a0时，又因121=Iim=Iimx3a-to+axo*a所以30即v3.a(a-) jr+flc 1 + X2又因为0Iim=Iim=11m-1+y2-XTMxaxtcarfl-4oa(a-Y)xq所以3。2,即（16）
13、（本题满分11分）综合得l0,所以=一；为微小值.当，=-1时，x=-l,y=l,此时y”O,所以y=l为极大值.令y()=O得f=O,X=y=g.当f0时，x,此时y”0时，xp此时y0.所以曲线的凸区间为(YO),凹区间为拐点为,；).(17)(本题满分9分)【解析】z=fxy9yg(x)|=工孙,yg()y+小孙,yg(切yg()版;=fyyg(切+yfn(yyg(%)%+尤(孙yg(%)g()+ga)川孙Ng(X)+yg3几卬,yg()+孙,Ng(X)g(%)因为g(x)在X=I可导，且为极值,所以g(l)=0,则鲁L=工U1)+/(1,1)+尤(1,1).dxdyys(18)(本题满
14、分10分)【解析】由题意可知当X=O时，j=0,y(0)=1,由导数的几何意义得V=tana,f即a=arctanyf,由题意(arctany)=十，即)=令p,y=*则d=P,J号=M,即吟一1pF+dp=dx,lnp-ln(p2l)=x+c1,即/=.二_则MX)-Mo)=xr=jo2e”-1jo2-e2z又因为y(0)=0,所以丁。)=皿5吊半产一.(19)(本题满分10分)【解析】(I)设Ia)=In(I+外,E0,-n明显F(X)在0,-上满意拉格朗日的条件，n1%0)=Ml+沪nl=ln(l+表K*)所以g(o,;)时，111111a1111,一-V,RP：一,l+nl+nl0nn
15、+1l+nnn亦即：!ln1+-|-.n+Vn)n结论得证.1n1(II)=1H1-+Inw=VIr1.23nMk先证数列q单调递减.%+%=7ln(n+,)Mln=-7+lnf-77)=-lnf1+-y1.=kJLa=I+1+U+11利用(I)的结论可以得到一ln(l+L),所以InjI+!v得到。用 ln(n + l)-ln? 0 .得到数列q有下界.利用单调递减数列且有下界得到qr收敛.（20）（本题满分11分）【解析】（I）容器的容积即旋转体体积分为两部分v = vl+v2 =_），2孙+乃仪1_,2的2+ TT,3)f- y2 -V 3八（II）所做的功为dw = pg(2 -yW-
16、y2)dy + pg(2 - y)(2y -y2 )dyVV =利 g J： (2 -y)(l-y2 )dy + g (2 - y)(2y - y2 )dy2=g(12、(-2y2-j + 2)dy + 1+/-4y2+ 4y)dyV2)冗Pg/_22y32 J.+2兆 -1f,2427 XIO38Ttg =3375gr(21)(本题满分11分)【解析】因为/(x,l)=0,/(l,y)=O,所以t(x,l)=0.1=xdxy玳(Xy)dy=txdxjydf；(x,y)=J；皿忒(,y)LH(,y)dy=J:皿(/XU)-ty)y)二一X可;f，y)d)=-dyXfxx,y)dx=一由，立苍y
17、)-/(x,y心/(x, y)dxdy = a=-(ty)-/(,y)=J（22）（本题满分11分）【解析】由于四,。2，。3不能由4，夕2,夕3线性表示，对（4血，夕3，%，。2，。3）进行初等行变换:（四血，230，。2，。3）=1JrI 13 I 1 O 11 I -1I、0 2 a-3 O3 I 11 ! -1Ia-5 20 P1 2T ;当 = 5时，*及R） = 2*及4%） = 3,此时,因不能由4,氏尸3线性表示，故不能由回，夕2，夕3线性表示（Ii）对（, %，4血，夕3）进行初等行变换:rI01I11(%,%。3，综夕2,夕3)= 013!I2J15；133、45, 0 1
18、 I 1 1 3rl 0 1 I 1 1 3 、0 1 3 I 1 2 4I0 1 3 I I 2 4I、0 1 4 I 0 2 2,k0 0 1 ； -1 0 -2;(1 0e0 0 I 21 0 I 4I0 1 ； -11 5 2 10。2故夕=2al + 4a2 -a3, 2=ai+ Ia2， 3 = 5% +10% 一 .（23）（本题满分11分）(-1【解析】(I)由于AOO=O0,设囚=(1%=(1,0,1)7,则C111JA(a1,2)=(-1,a2),BPAal=-al,Aa2=a2,而a产0,4工0，知4的特征值为21=-l,=1,对应的特征向量分别为KaK=0),k1a1(k20).由于r（八）=2,故IH=0,所以4=0.由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设4=O对应的特征向量为4=(%，工2，工3)丁，则X1 - Xj = 0,xi+x3=0.邸外=口即,aa3=0,解此方程组，得4=(0,1,0)故。对应的特征向量为七%01。)-（三）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：四嘀=依。可血=jj=(m)3=禽=(。，1,。JI、令Q二(,z,B),则QTAQ=A=1I”A=QQf22O 1立012)=O.也Tr22=O垃1T也2O也2J正O2O正2O02正2001、0000,
