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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.1(1) 若X 0时，(1 -ax2)4 -1与xsinx是等价无穷小，则a = .(2) 设函数y = f (x)由方程xy + 2lnx = y4所确定，则曲线y = f (x)在点(1,1)处的切线方程是 .(3) y = 2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 . 设曲线的极坐标方程为P = ea9(a 0)，则该曲线上相应于。从0变到2兀的一段弧与极轴所围成的 图形的面积为.1-11一设a为3维列向量，a t是a的转置.若aa T = -11-1，贝1 -11a t
2、 a = .(6)设三阶方阵A,B满足A2B - A - B = E，其中E为三阶单位矩阵，若10A = 0 2 0，则 |B| = .-2 0 1 设叩,区。均为非负数列，二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.且 lim a = 0,lim b = 1,lim c =8，则必有(ns nnT8 nns (A) a b对任意n成立.(C)极限lima c不存在.ns(B) bn 12 1.(B) 1 11 12.(C) 12 11 L(D) 1 12 11.(6)设向量组I：以，以2，气可由向量组I
3、I：P1，%，P声性表示，则(A)当r s时，向量组II必线性相关.(C)当r s时，向量组II必线性相关.(D)当r s时，向量组I必线性相关.x = 0是f (x)的可去间断点?d 2 y(t】)所确定，求云三、(本题满分10分)ln(1+ ax3)；，x - arcsin x 设函数f (x) = 6，e ax + x 2 - ax -1 xI xsin4问a为何值时，f (x)在x = 0处连续；a为何值时，四、(本题满分9分)x = 1+2t2，设函数y = y (x)由参数方程j y=j i+2int竺血i 1 u五、(本题满分9分)Xe arctan x , 计算不定积分dx.(
4、1 + X 2)32六、(本题满分12分)设函数y = y(X)在(8,+8)内具有二阶导数，且yy丰0, x = x(y)是y = y(x)的反函数.,、d2xdx、,、(1) 试将x = x(y)所满足的微分方程 + (y + sin x)(二)3 = 0变换为y = y(x)满足的微分方程;dy 2dy，一 、3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) = 0, y(0) = 5的解.七、(本题满分12分)讨论曲线y = 4lnx + k与y = 4x + ln4x的交点个数.八、(本题满分12分)2 1、八设位于第一象限的曲线y = f (x)过点(乙厂,亏)，其上任一点P(x,
5、y)处的法线与y轴的交点为Q， 且线段PQ被x轴平分.(1) 求曲线y = f (x)的方程；(2) 已知曲线y = sinx在0,兀上的弧长为l，试用l表示曲线y = f (x)的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x = 9 (y)(y 0)绕y轴旋转而成的旋转曲面 (如图)，容器的底面圆的半径为2m .根据设 计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以兀m2/min的速率均 匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体). 根据t时刻液面的面积，写出t与9 (y)之间的关系式;(2)求曲线x = 9 (y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示
6、时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(X) 0.若极限lim f(2* )存 x* + x - a 在，证明：(1)在(a, b)内 f (x) 0;(2)在(a,b)内存在点&，使jb f (x)dxa 在(a,b)内存在与(2)中&相异的点门f (& )一. 一2巳，一 一使f m)(b2 a2) = j f(x)d*.5 a a十、(本题满分10分)若矩阵A =2 2 082 a相似于对角阵A，0 0 6试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P-1AP = A.十二、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为l :
7、ax + 2by + 3c = 0，l : bx + 2cy + 3a = 0， l : cx + 2ay + 3b = 0 .试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a + b + c = 0.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题【答案】4c11八、1-1.【详解】 当 x 0 时，(1+ x)n 1 x，sinx x，则(1 ax2)4 1 - 一丁ax2，xsinx x2 n4由题设已知，当x T 0时，1(1 ax2)4 1与xsinx是等价无穷小，所以1 (1 ax 2)41 = limx T0 x sin x1ax 21=lim 4= axt0 x 24从而
8、a = -4 .(2)【答案】x-y = 0【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出 切线方程即可.【详解】对所给方程两边对x求导数，将其中的y视为x的函数，有y + xy，+ - = 4 y 3yx将x = 1,y = 1代入上式，得y(1) = 1.故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点(1,1)处的切线方程为y 一 1 = 1 - (x 一 1)，即 x 一 y = 0.【答案】(ln2) nn!【详解】y = f (x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式：f (0)f (n)(0)f
9、 (x) = f (0) + f (0)x + x兀=(e 47ib 一 1).04a方法2：用二重积分计算.D表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式: b = jj p d p d0D + + - xn +0(xn) 2!n!求y = f (x)的麦克劳林公式中xn项的系数相当于先求y = f (x)在点x = 0处的n阶导数值f(n)(0)，f (n )(0)就是麦克劳林公式中xn项的系数.n!y = 2x ln2 ； y = 2x (In 2)2 ； y(n)= 2x(ln2)n(归纳法及求导公式)“、八 cy (n)(0)(ln2) n于是有y(n)(0) = (ln2
10、)n，故y = 2x的麦克劳林公式中xn项的系数是=-n !n !1 / 八 【答案】了 (e 4血-1) 4a【详解】S = L j2” p 2 (0 )d9 = L j2k e 2 aO d9 =一e 2 ao2 02 04a方法1：用定积分计算.极坐标下平面图形的面积公式：S =1 jpp2(O)dO，则 2 a所以 S - U db = j2” dof erdr = 2 j2” e2冶 d& =(e 饥 一1)-D000(5)【答案】3 【分析】本题的可由矩阵aa T的秩为1,把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数 构成.也
11、可设A = aat求出a，或利用A2或设a = x x x T，定出a 等. 1 2 31-11 1-11 -3-33 一-11t|t1-1=-33-3L 1-11JL1-11JL3-33JA2 =aa t aa t = (a t a )(aa t ) =a t a A=3 A而 A2 =得 a t a = 3.【详解】方法1：观察得A的三个行向量成比列，其比为1:1:1,故1-11 1 A =aa t =-11-1=一 11-1111 -1 1，11知a =-1，于是 a Ta = 1 -1 1-1L1JL(6)【答案】-【分析】先化简分解出矩阵B，再计算行列式|b |或者将已知等式变形成含
12、有因子B的矩阵乘积形 式，而其余因子的行列式都可以求出即可.【详解】方法 1：由 A2B 一 A 一 B = E，知(A2 - E) B = A + E，即(A + E)(A 一 E) B = A + E易知矩阵A + E可逆，于是有(A - E)B = E.J=3.方法 2： A = aat，比较(1), (2)式，ata = (xx x )x1x2x3x12xxx x一 1-11 -x2 x1x22x2 x3=-11-1x xx xx 231-11T方法 3：设a = x x x T A = aa1 2 3=x2 + x 2 + x 2(A的主对角元之和)123再两边取行列式，得 |A-E
13、|8| = l,0 0因为 |a e|= o 1-2 010=2,所以|8|=；0方法2：由A2B-A-B = E ,得(A + E)(A-E)B = A + E等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得A-EA-EB = A + E约去|A + E|kO,得|b| = |a+e二、选择题(1)【答案】(Q)【详解】方法1：推理法由题设limZ? =1,nnoob c假设limZ? c存在并记为A,则lime Timtbnn ncoA,这与limen noo00矛盾,故假设不成立，limZ? cn n ns不存在.所以选项(。)正确.方法2：排除法|孔取a =-, b =,满足l
14、ima =0,limZ? =1,而a =l,b =Q,a b ,n n n nv nn1111，&inconooM .取 b =, c =n-2,满足 limZ? = 1, lim c =8,而 5 = 0-l = c , (3)不正确;n nnnn11Toon00取。=,c =n-2,满足limi = 0,limc = 8 ,而lima c =1, (C)不正确.n n nnnn n一00一oonoo(A)不正确;(2)【答案】(B)3 f1 3详解。=J n+i 尤1 Jl + Xn dx =Jn 2 02n(第一类换元法)n+1=-1 + 0吠32-1可见 lim na =lim =nT
15、8n00= limnTs、31、 )-(n+1)n +1/12(凑重要极限形式)3=(1+ e-1)2 1所以选项(B)正确(重要极限)【答案】(A)Xv ( x、ln x _ 1【详解】将y = L代入微分方程y = 2+中-，其中y = n，得:ln xx y Jln2 xln x 11 八 、=+ 中(ln x)，ln2 x ln x中(ln x)=1ln2 x令ln x = u，有中(u)= 一-，以u =代入，得 u2y八 y2中(一)=yx2故选项(A)正确.【答案】(C)【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极
16、值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x = 0是导数 不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：x = 0 .左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x = 0为极大值点.故f (x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【答案】(B)详解】令中(x) = tanx x，有甲(0) = 0,平，(x) = s
17、ec2x 1 0,fc 兀)，/ 、, 所以当x E 0,时中(x)单V 4 Jtanx 一 x调递增，则中(x) 0，即tanx x 0， 1，f：1dx=L4dx=I10 x 040 tan x 2兀 可见有11 12且12 -.(6)【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：以厂以尸,a,可由向量组II：或其逆否命题：若向量组I： a1，a2，.，以则必有r s时，向量组I必线性相关.可由向量组II： P1，P2,，Ps线性表示，且向量组I线性无关 题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：(0、(1、(0、,P =,P =10 J10 J2Y1 ,a1
18、则 a = 0 - P + 0 - P但 P1，P 2线性无关，排除(A)；,a，P1(1、,P1 =(1、,P 2 =(0、0UJ0 UJ1UJ,a12P1线性表示，但P1线性无关，排除(B)；a1可由1，P 2线性表示，但a1线性无关，排除(C).【详解】函数f (X在X = 0处连续，则要求函数f (x)在x = 0处既是左连续又是右连续，即f (0 +) = f (0) = f (0 -).ln(1+ ax3)ax3f (0 ) = lim f (x) = lim= limxT0-xT0- x arcsin xxt。- x arcsin x(由于ln(1+ x) x(x 0)，所以ln
19、(1+ ax3) ax3 (x 0)3ax2-limn-11xt。1 _(0型极限，用洛必达法则)3ax 23ax2=lim 1x 项- x 22=-6a=lim一- lim如1 x2(极限的四则运算)xT0- 1 x2 1 xT0-八 、1,1 ,、1/(1 x2)2 1 -2(x2) = 2x2 (x t 0)eax + x2 一 ax 一 1eax + x2 ax 1f (0+) = lim f (x) = lim limxx -0+x -0+x sin x 0+4x 24eax + x2 一 ax 一 1aeax + 2x 一 a=4 lim= 4 limxr0+x 2xr0+2 xa
20、 2 eax + 2=4 lim= 2 lim (a 2 ea + 2) = 2a 2 + 4xr0+2xr0+f (0) = 6.所以，x = 0为 f (x)的连续点=f(0 +) = f(0-) = -6a = 6 = 2a2 + 4,得a =-1 ；所以，X = 0为f (x)的可去间断点=6a = 2/+ 4主6 ,即2 2 + 6a + 4 = 0,但a。1解得a = -2，此时f (x)在x = 0为可去间断点.d L ),四【分析】变上限积分求导公式：了ru(x) f (t)dr= f (u)u (x) f (v)v (x)；d v (x)Ix =9 (t)dy dy dt d
21、y 1W(t)(ii )参数万程,、的一阶导数:：= -r = r-=；I y =W (t)dx dt dx dt dx 9 (t)dt(iii)若x =9 (t)，y =w (t)二阶可导，函数的二阶导数公式:d 2 y d ( dy ) d (W(t) dt dt 9 (t) J dxdx 2dx k dx JW (t )9(t) 一(t )9 (t) 1 W (t )9 (t) 一 (t )9 (t) =9 2(t)9 (t)9 W)【详解设x =中(t) =1+2t2, y =W (t) = j11+g竺du，则udxdye1+2ln t=9 (t) = 4t ；=w (t)=dtdt
22、1 + 2ln t2et2 _ e -12 t 1 + 2lnt2_ 2et t 1 + 2ln t所以dy = 1 + 2lnt = e dx4t2(1+ 2ln t)所以d 2 y _ ddy ) dw(t)dtI11一4e -i1 _t1 _e,dx2dxdx J = dt9 (t) Jdx 2(1+ 2ln t) J4t 4(1+ 2ln t)2 4t4t2(1+ 2ln t)2由 x = 1 + 2t2及t 1 得t = 2,故，d2 y dx 2x=9e4t2(1+ 2ln t)216(1 + 2ln 2)2五【详解】方法1 :第二类换元法.由于被积函数中含有根号（1 + X2 ,
23、作积分变量变换x = tan t( x )，那么(1+ x2)% = sec31 ， dx = sec2 tdt，则22xearctan xet tan tet tan t 7Jdx = Jsec2 tdt = Jsec2 tdt(1 + x 2)32(1+ tan21 )32sec31三角变换公式=f et色巴dt = f et sin tdt.sec t又 f et sin tdt = -f etd cos t = - (et cos t - f et cos tdt)分部积分= -(et cos t 一 f etd (sin t) =-(et cos t - et sin t + f e
24、t sin tdt)分部积分=-et cos t + et sin t -f et sin tdt，故 f et sin tdt = et (sin t - cos t) + C.2由 x = tan t(- 2 x 2)得 t = arctan x，因此f Xe arctan x(1 + X 2)3,1, XdX = e arctan x (21( x 1)e arctan x:)+ C = + C.1 + X 22 1 + X 2方法2：分部积分法Xe arctan xJ dx = J(1 + X 2)32de arctan x：1 + X 21d (e arctan x ) = e ar
25、ctan x ,1 + X 2Xe arctan x Jv 1 + X2e arctan x dx(1 + X 2)32分部积分Xe arctan x-j 0，满足题设y丰0条件.2七【详解】讨论曲线y = 4ln x + k与y = 4x + ln4 x的交点个数等价于讨论方程中(x) ln4 x - 4ln x + 4x - k在区间(0, +8)内的零点问题，为此对函数求导，得4ln 3 x 即中(x)单调减少；当x 1时，ln3 x 0，则ln3 x -1 + x 0，而一 0，有中(x) 0，即中(x)单调增加， x故中=4 - k为函数中(x)的惟一极小值即最小值.当中(1) 4-
26、k 0，即当k 0，中(x)无零点，两曲线没有交点；4中(x) + 4 (ln3 x 1 + x).xxx4 一 可以看出x = 1是中(x)的驻点，而且当0 x 1时，ln3 x 0，则ln3x-1 + x 0，有中(x) 0， x 当中(1)= 4-k = 0，即当k = 4时，中3)2中(1)= 0 ,中(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个 交点.， 当中(1)= 4-k 4时，由于lim 中(x) = limln x(ln3 x 一 4) + 4x 一 k = +8 ；XT0+xT0+lim 中(x) = lim ln x(ln3 x 一 4) + 4x 一 k = +8 xT+8
27、x T+8由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与(1,+8)内各至少有一个零点，又因中(x)在区间(0,1)与(1,+8)内分 别是严格单调的，故中(x)分别各至多有一个零点.总之，中(x)有两个零点.综上所述，当k 4时，两曲线有 两个交点.八【详解】(1)曲线y = f (x)在点P(x, y)处的法线方程为Y 一 y = - (X 一 2 - 一 . 一一积分得y + y2 = c (c为任意常数)，代入初始条件y)y1-1-=得C =，故曲线y = f 一，令X = 0，则它与y轴的交点为(0, y + p.由题意，此点与点P (x, y)所连的线段被x轴平分，由中 y点公式得1 ,
28、 x、(y + y + )= 0，即 2ydy + xdx = 0.2 y，的方程为 x =222三 + y 2 = 1，即 x 2 + 2 y 2 = 1.22(2)曲线y = sin x在0,兀上的弧长为1 + cos2 tdt = 22，.1 + cos2 tdt.0l 弧咎式兀、1 + y，2dx = J、i + cos2 xdx 七+ j ：00u2另一方面，将(1)中所求得的曲线y = f (x)写成参数形式，在第一象限中考虑，于是x = cos t,兀2 .0 - t -.y = sin t,22于是该曲线的弧长为：所以s = j 2 (X)2 + (y)2 dt = J 2、：
29、sin2 t + cos2 tdt=-Lj 2 v1 + sin2 tdt 0，则f (x)在(a,b)内严格单调增加，所以f (x)在x = a处取最小值，即f (x) f (a) = 0, x e (a,b).(2)由要证明的形式知，要用柯西中值定理证明.取F(x) = x2，g(x)=xf (t)dt (a x 0，则F (x), g (x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a, b)内存在点&，使F(b) 一 F(a) _b2 - a2_(x2)，_ 2gg(b) 一 g(a)I bf (t)dt-f af (t)dt(I xf (t)dt)f &)aaax=g 在区间a,g 上应用拉格
30、朗日中值定理，得在(a,提内存在一点门，使f (g) - f (a) = fd)因f (a) = 0，上式即f (g) = f )(g- a)，代入(2)的结论得，b 2 a 2 _2gfb f (x)dxf e)(g - a)a一.一2g一 一即f (n)(b2 -a2) = f f (x)dx.g - a a十一【分析】已知A相似于对角矩阵，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量 的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a .至于求P，则是常识问题.【详解】矩阵A的特征多项式为人-2-20kE - A = - 8 人一2- a =(人一6)(人一2)2-16=。一 6
31、)20 + 2)，00人一6故A的特征值为气=气=6,气=-2-由于A相似于对角矩阵A，故对应 W 6应有两个线性无关的特征向量，即3 - r(6E - A) = 2，于是有 r(6E - A) = 1.二6的两个线性无关的特征向量可取为则p可逆，并有 P-1AP = A.一 4-20 一-2-106 E - A =-84-a-00-a000000于是对应于人广气切3=一2时,-2 0-4 00 - 8解方程组气+ %0,得对应于人=-2的特征向量& =气=0,33十二【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的 秩均为2.1bx + 2cy = -
32、3a,(*)cx + 2ay = -3b,a 2ba 2b - 3c有唯一解，故系数矩阵A =b 2c与增广矩阵A=b 2c - 3ac 2ac 2a - 3bax + 2by = -3c,的秩均为2,于是A = 0.【详解】方法1： “必要性”.设三条直线2,13交于一点，则线性方程组a2b-3ca + b + c2(b + c + a)-3(c + a + b)b2c-3a=b2c-3 ac2a-3bc2a-3bA=1 2-31 1 1=(a + b + c)b 2c -3a=-6(a + b + c)b c ac 2a -3bcab0c - ba-cc - b=-6(a + b + c)
33、a - c1=-6(a + b + c) bc=-6(a + b + c )(c b)(b c) (a b)(a c)=-6(a + b + c)(bc 一 c2 b2 + bc 一 a2 + ac + ab 一 bc)=6(a + b + c)(a2 + b2 + c2 一 ac 一 ab 一 bc)=3(a + b + c )(a 一 b)2 + (b 一 c )2 + (c 一 a )2,由于三条直线互不相同，所以(a b)2 + (b c)2 + (c a)2。0,故a + b + c = 0.“充分性”.由a + b + c = 0，则从必要性的证明可知，|A| = 0，故秩(A) 3.由于a 2b13=2(ac -b2) = -2a(a + b) + b2 = -
