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1、投资学 第八讲,因子模型和套利定价理论,组合选择理论的一个缺陷,马科维茨的Portfolio Selection理论说明了如何在给定风险水平下获得最大的资产组合收益。但是在有效边界的确立上，需要做大量的变量估计，对计算能力的要求非常高。,假定分析人员需要分析n种股票，则按照均值方差模型的要求需要估计：n个期望收益n个方差(n2-n)/2个协方差若n50，总共为1325个 若n100，总共为 5150个 若n3000，总共要估计超过450万个变量,8.1 因子模型（Factor model）,定义：因子模型是假设资产的收益是由某个收益生成过程所决定的（而不是根据Markowitz方法），而这个生
2、成过程则可以通过某个收益率统计公式线性地表述出来。依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。,8.1.1 单因子模型,若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。假设：（1）证券的回报率主要取决于该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险例如，GDP增长率是影响证券回报率的主要因素。,因子模型回归,4%,图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为,通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列,其中：rit
3、在时期 t 证券 i 的回报ai零因子ft是t 时期公共因子的取值bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷（factor loading）eit在时期t证券i的特有回报,（8.1）,如果只考虑在某个特定的时间的因子模型，可以省掉角标t，从而（8.1）式变为,并且假设,（8.2）,假设(1)：因子f具体取什么值对e没有影响，即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是回报率的惟一因素。假设(2)：一种证券的e对其余任何证券的e没有影响，两种证券之所以相关，仅是由于它们具有共同因子f所致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。,对于证券i，由
4、（8.2）其回报率的均值（期望值）为,其回报率的方差,因子风险,非因子风险,对于证券i和j而言，它们之间的协方差为,（8.3）,用因子模型简化组合选择过程,单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差，一个因子f方差，共3n1个估计值若n50，之前1325个，现在151若n100，之前 5150个，现在301若n3000，之前450万，现在9001,一个特殊的因子模型 证券收益可以用预期到的收益和未预期到的收益两个部分来解释，构成了,未预期到的因子变化,包含已知信息的预期回报,f是证券i的因子变化，它是不可预测的。,若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无
5、法预测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向公平赌局（Fair game）价格（收益）的不可预测，本质上是信息的不可预测。,单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产收益简单地认为仅与一个因子相关。因而难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。例：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。,8.1.2 多因子模型,双因素、三因素与五因素模型,双因素模型：经济周期GDP和利率IR是两个最重要的系统因素.三因素模型：Fama and French 除市场收益外,考察了公司规模大小SIZE、托宾Q值比HML这两个因素.五因素模型：把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比IP、预期
6、通胀变动百分比EI、非预期通胀变动百分比UI、长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG、长期政府债券对短期国库券的超额收益GB.,两因子模型,若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为,在两因子模型下，对于证券i，其收益率的均值,其收益率的方差,对于证券i和j，其协方差为,证券i对因子1的敏感度,多因子模型,对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的收益可以表示为,CAPM：市场均衡条件下的最优投资组合理论 APT：无套利均衡下因子模型,8.2 套利定价理论（APT）,套利（Arbitrage）是利用证券定价之间的不一致，同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而在不
7、承担风险的情况下锁定一个正收益。三要点：-零投入-无风险-正收益.,套利机会,套利机会-如果可以持有自融资的投资组合并获得确定的正收益arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit.如果市场是有效的,套利机会将立即消失.因为任何投资者,不考虑风险厌恶与财富状况,均愿意尽可能多地拥有套利组合的头寸,大量头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至套利机会完全消除.,两种套利方法：当前时刻净支出为0，将来获得正收入（收入净现值为正）当前时刻一系列能带来正收入的投资，将来的净支出为零（支出的净
8、现值为0）。,假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。,按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还半年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元
9、）。这是哪一种套利？,套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产（组合）构成的近似套利机会。无套利原则（Non-arbitrage principle)：根据一价定律，两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。,8.2.1 APT的基本假设,1、市场是充分竞争的、无摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；2、投资者是非满足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。不必对投资者风险偏好作假设3、资产的回报可以用因子模型表示。,APT的基本原理：由无套利原则
10、，在因子模型下，具有相同因子敏感性（b）的资产（或组合）应提供相同的期望收益率。,8.2.2 构建套利组合 Arbitrage portfolio,1、零投资：套利组合中购买证券的资金由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）。2、无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。3、正收益：套利组合的期望收益大于零。,Well Diversified Portfolio,Recall the return on a portfolio,We say that a portfolio is well diversified if,T
11、he Effect of Diversification,Let,Lets take a look at the error term,用数学表示就是,8.2.3 套利定价模型,假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风险利率借入1元钱；（2）1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。,若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0,根据条件（2），,一般形式的证明见附录,APT的意义,若bi0，则上式退化为无风险资产，则意味着,若bi0，则期望回报 随着 的增加而增大,风险因子载荷,APT的意义,若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而使其
12、价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离APT定价线就会有套利机会。,APT定价线,8.2.4 APT的另一种表达,则称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合),在两因子模型下，我们有,即,第1因子的风险价格,第2因子的风险价格,这样可将APT的表达式可以改写为,8.3 APT与CAPM的比较,APT与CAPM的一致性若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，则当APT与CAPM均成立时有,1、CAPM是一种理论上非常完美的模型，但假设条件太多、太严格。其中关键的假设是同质性假设和一般均衡。APT假设少得多。基本假设是：个体
13、是非满足，不需要风险规避的假设！只要一个人套利，市场就会出现均衡,CAPM与APT的区别,2、在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解）。APT并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合：纯因子组合3、若纯因子组合不是市场组合，则APT与CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与APT等价。,CAPM与APT的区别,注意二者并不一致,由于市场组合在实际中不是总能得到，因此，在实际应用中，只要投资基金等组合，即可满足APT。所以APT的适用性更强！,4、APT的推导以无套利均衡为核心，CAPM则以一般均衡 Gen
14、eral Equlibrium 核心。5、CAPM属于单一时期模型，但APT并不受到单一时期的限制。6、在CAPM中，证券的风险只与市场组合相关。APT承认有多种因素影响证券价格，为识别证券风险的来源提供了分析工具。,1976 年罗斯(Stephen.A.Ross,1944)的套利定价理论(APT,Arbitrage Pricing Theory)。,命题：假设n种资产其收益率m个因子决定（mn），即,其中，i=1,2,n，j=1,2,m，则,附录：APT的严格证明,证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险的组合，即wi满足下列条件,零投资,无风险,（2）,（1）,即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。,如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（1）和（2）成立，则蕴含(followed),这等价于，只要,对于任意的W，必然有,又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则 必定落在由1,b1,b2,bm组成的向量空间Rm+1中，也就是存在一组不全为零的数 使得,证毕。,理解：必须落在Rm+1空间中，才能必然成立,1和bj是该空间的一组基,a,b,C,在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d可以由a、b线性表示.,0,示意图：向量空间,
