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1、第五节数列的综合应用,1解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤用框图表示如下：,2数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还
2、是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系,银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？【提示】单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1rn)，属于等差模型复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1r)n，属于等比模型,1(教材改编题)一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回5个伙伴.如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天后所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有多少只蜜蜂()A55 986 B46 656 C216 D36【解析】由已知得，每天蜂巢中的蜜蜂数构成首项为6，公比为6的等比数列，故第6天蜂巢中的蜜蜂数为6646
3、656.【答案】B,2在如下所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为(),A.1 B2 C3 D4,【答案】C,3小王每月除去所有日常开支，大约结余a元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息那么，小王存款到期利息为_元,【答案】78ar,4(2011天津高考)已知an是等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10_.,【答案】110,等差数列与等比数列的综合应用,1解答本题(1)时，列出关于a
4、1，d的方程组是关键2(1)若数列an是等差数列，则数列aan是等比数列，公比为ad，d是an的公差(a0且a1)(2)若数列an是等比数列，且an0，则数列logaan是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a0，a1，q是an的公比,数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.【解】(1)由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减得an1an2an，则an13an(n2)又a22S113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的
5、等比数列，an3n1.,数列的实际应用,【思路点拨】(1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和(2)解不等式bnan即可,1解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项2数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型3与等比数列联系较大的是“增长率”的概念，在经济上多涉及利润、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关,流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年11月份曾发生流感据资料统计，
6、11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数,依题意，SnT30n8 670，即(25n25n)(65n22 445n14 850)8 670.化简得n261n5880，解得n12或n49.1n30.n12.第12日的新患者人数为20(121)50570.11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这
7、一天的新患者人数为570人,【思路点拨】(1)由已知得an1与an的关系从而获解；(2)利用等差数列的性质及裂项相消去求解第(2)、(3)问,数列与函数、不等式的综合应用,1本题中在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列的单调性2数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选,(2012惠州调研)定义：若数列An满足An1A，则称数列An为“平方数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f
8、(x)2x22x的图象上，其中n为正整数(1)证明：数列2an1是“平方数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn，即Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式；(3)对于(2)中的Tn，记bnlog2an1Tn，求数列bn的前n项之和Sn，并求使Sn4 020的n的最小值,数列的综合应用是高考的重点内容，重点考查学生分析问题和解决问题的能力，从高考命题来看，本考点突出知识的交汇，题型多样，小题“以小见大”，解答题往往需运用数列与其他知识(方程、不等式、函数)综合解决，创新能力要求高，数列应用题多以现实问题为背景
9、，体现数列的应用性，这类问题多以客观题形式出现，在解答时应注重答题的规范化,(12分)(2011陕西高考)如图551，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.,规范解答之九数列与导数交汇问题的求解方法,易错提示：(1)题意不明确，无法求出在点Qk1(xk1，exk1)处的切线方程(2)数列应用意识较差
10、，不会把所求问题转化为数列问题解决防范措施：(1)从点Pn，Qn的生成过程出发，深刻理解题意，从而得知求在点Qk1(xk1，exk1)处的切线方程是关键(2)树立数列知识的应用意识，当问题与自然数n有关时，可考虑是否能用数列知识解决,1(2012梅州模拟)已知函数f(x)2x，等差数列的公差为2，若f(a2a4a6a8a10)4，则log2f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)_.【解析】由题意知，a2a4a6a8a102，a1a3a5a7a925d8，a1a2a3a10826，f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)2a1a2a3a1026，log2f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)log2266.【答案】6,课时知能训练,
