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1、等腰三角形,第20讲等腰三角形,考点1 等腰三角形的概念与性质,考 点 聚 焦,两边,一,等边对等角,中线,第20讲等腰三角形,第20讲等腰三角形,考点2 等腰三角形的判定,等角对等边,第20讲等腰三角形,考点3等边三角形,相等,60,3,第20讲等腰三角形,考点4 线段的垂直平分线,相等,垂直平分线,距离相等,第20讲等腰三角形,探究一 等腰三角形的性质的运用,命题角度：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形“三线合一”的性质,归 类 探 究,例1 如图201，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG，交AD于点E，EFAB，垂足为F.求证：EFED.,图201
2、,第20讲等腰三角形,解析根据等腰三角形三线合一，确定ADBC.又因为EFAB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可证明结论,第20讲等腰三角形,证明 ABAC，AD是BC边上的中线，ADBC.BG平分ABC，EFAB，EFED.,第20讲等腰三角形,(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法；(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据,第20讲等腰三角形,探究二 等腰三角形的判定,命题角度：等腰三角形的判定,图202,例2 2011扬州 已知：如图202，锐角ABC的两条高BD
3、、CE相交于点O，且OBOC.(1)求证：ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在BAC的平分线上，并说明理由,第20讲等腰三角形,解析(1)利用BDCCEB 证明DCBEBC；(2)连接AO，通过HL证明ADOAEO，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明结论,第20讲等腰三角形,解(1)证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，BDCCEB90.又BCCB，BDCCEB(AAS)EBCDCB,ABAC.ABC是等腰三角形,第20讲等腰三角形,解(2)点O在BAC的平分线上理由如下：连接AO.BDCCEB，DBEC.OBOC，ODOE.又BDCCEB90，A
4、OAO，ADOAEO(HL)DAOEAO.点O是在BAC的平分线上,第20讲等腰三角形,要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等,第20讲等腰三角形,探究三 等腰三角形的多解问题,命题角度：1遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分；2遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两种情况,例3 2013毕节 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A16 B20或16C20 D12,C,第20讲等腰三角形,
5、解析因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论当4为底时，其他两边长都为8，长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，周长为20；,第20讲等腰三角形,解析当4为腰时，其他两边长分别为4和8，448，不能构成三角形，故舍去答案只有20.,第20讲等腰三角形,综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系得到结论,第20讲等腰三角形,探究四 等边三角形的判定与性质,命题角度：等边三角形的判定与性质的综合,例4 如图203，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CDAE
6、，AD与BE相交于点P.(1)求证：ABECAD；(2)若BHAD于点H，求证：PB2PH.,图203,第20讲等腰三角形,解析(1)欲证ABECAD，可以通过证明ABECAD得出；(2)欲证PB2PH，因为BHAD于点H，在RtPBH中根据含30的直角三角形的性质由BPH60即可得到答案,第20讲等腰三角形,证明(1)等边ABC，ACAB，CCAB.CDAE，CADABE.CADABE.(2)BPHBADABPBADCAD60，且BHAD于点H，EBH30.在RtPBH中，PB2PH.,第20讲等腰三角形,等边三角形中隐含着三边相等和三个角都是60等条件，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等
7、或者构造全等,第20讲等腰三角形,探究五 等腰三角形的创新应用,命题角度：等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形的三线合一”的运用,例5 如图204，在ABC中，ABAC2，BAC120，点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由,图204,第20讲等腰三角形,解析先由等腰三角形三线合一的性质得出OBOC，OABOAC60，再取BPABAP60，所以PBABPCAC，从而根据等腰三角形的定义得出PAB、PBC、PAC都是等腰三角形,第20讲等腰三角形,解 在x轴上存在点P(1，0
8、)，P(3，0)使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形理由如下：ABAC2，AOBC，BAC120，OBOC，OABOACBAC60，取A(1，0)关于y轴的对称点P(1，0)，则PBAB，PCAC，BPABAP60，PBABPCAC，PAB、PBC、PAC都是等腰三角形,第20讲等腰三角形,解 P(3，0)，A(1，0)，BAAPAC2.又BAPCAP，BAPCAP.BPCP.PAB、PBC、PAC都是等腰三角形,第20讲等腰三角形,等腰三角形的等量问题,回 归 教 材,证明：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图205，在ABC中，ABAC，BD，CE是ABC的角平分线求证：BDCE.证明：ABAC，ABCACB(等边对等角)1ABC，2ACB，12.在BDC和CEB中，ACBABC，BCCB，12，BDCCEB(ASA)BDCE(全等三角形的对应边相等),图205,第20讲等腰三角形,中 考 预 测,已知：如图206，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC，交AB于D，交AC于E.请说明BDECDE的理由,图206,第20讲等腰三角形,解 DEBC，32(两直线平行，内错角相等)又BF平分ABC，12.13，DBDF(等角对等边)同理，EFCE，BDECDFEF，即BDECDE.,图206,
