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1、,平面向量一,已知两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40N,方向向东,F2=30N,方向向北,求它们的合力.,什么是向量？向量和数量有何不同？,向量：即有大小又有方向的量,（数量：只有大小，没有方向的量）,在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？,数量有：质量、身高、面积、体积,向量有：重力、速度、加速度,2.向量如何表示？,几何表示向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。,注:以A为起点，B为终点的有向线段记为 线段AB的长度记作（读为模）；,也可以表示：,大小记作:,练习:1.温度有零上和零下之分
2、，温度是向量吗？为什么？,我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量.,如图：他们都表示同一个向量。,不是，温度只有大小，没有方向。,不是，方向不同,说明1：,有向线段与向量的区别：,有向线段：有固定起点、大小、方向,向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。,说明2：,3.什么是零向量和单位向量？,零向量：长度为0的向量，记为；单位向量：长度为1的向量.,注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.,4.什么是平行向量？,方向相同或相反的非零向量叫平行向量.,注：,1.若是两个平行向量，则记为,2.我们规定，零向量与任一向量
3、平行，即对任意向量，,都有,三、向量之间的关系：,练习.判断下列各组向量是否平行？,向量的平行与线段的平行有什么区别?,B,例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km).,1:8000000,5.什么是相等向量和共线向量？,长度相等且方向相同的向量叫相等向量,注：1.若向量 相等，则记为；2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。,平行向量也叫共线向量,注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.,O,A,B,C,B,相等,B,5.如图，设O是正六边形ABCDEF的
4、中心，分别写出图中与 相等的向量。,O,A,B,C,D,E,F,6.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 相等的向量。,O,7：如图,EF是ABC的中位线,AD是BC 边是的中 线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出（1）与向量CD共线的向量有_个,分别是_；（2）与向量DF的模一定相等的向量有_个,分别是_；（3）与向量DE相等的向量有_个,分别是_。,A,B,C,D,E,F,7,5,2,8：如图,D、E、F分别是ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与ED共线的向量；（2）与ED相等的向量；（3）与FE相等的向量
5、。,课本 P8687,嘉祥一中高一、一科数学组,向量加法、减法运算及其几何意义,知识回顾,1.向量与数量有何区别?,2.怎样来表示向量向量?,3.什么叫相等向量向量?,数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等,向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等,1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。,2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.,长度相等,方向相同的向量相等.,(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.),上海,香港,台北,引入1：,向量加法的三角形法则：,C
6、,A,B,首尾连首尾相接,尝试练习一：,A,B,C,D,E,（1）根据图示填空：,例1.如图，已知向量，求作向量。,则,三角形法则,作法1：在平面内任取一点O，,作，,例题讲解：,思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？,（1）,（2）,B,C,B,C,当向量 不共线时，和向量的长度 与向量 的长度和 之间的大小关系如何？,三角形的两边之和大于第三边,综合以上探究我们可得结论：,图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、F2之间
7、的关系如何？,F=F1+F2,引入2：,起点相同,向量加法的平行四边形法则：,起点相同,向量加法的平行四边形法则：,文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。,例1.如图，已知向量，求作向量。,例题讲解：,作法2：在平面内任取一点O，,作，,以 为邻边作 OACB，,连结OC，则,平行四边形法则,尝试练习二：,(3)已知向量，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1
8、）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,A,D,B,C,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60。,A,D,B,C,（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？,（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？,
9、思考：,如设,实数 的相反数记作。,向量的减法运算及其几何意义,回顾：,一、相反向量：,规定：,（1）,（3）设 互为相反向量，那么,2.2.2 向量的减法运算及其几何意义,记作：,的相反向量仍是。,二、向量的减法：,（2）,设,D,E,又,所以,你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？,不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？,三、几何意义：,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,（1）如果从 的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？,（2）当，共线时，怎样作 呢？,A,B,O,A,B,O,一般地,B,A,O,（三角形法则）,练习：,三、几何意义,一般地,B,A,O,可以表示为从
10、向量 的终点指向向量 的终点的向量,练习：,已知向量，求作向量，。,例3,O,B,A,C,D,作法：,在平面内任取一点O，,则,作,注意：,起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。,练习：,已知向量，求作向量。,（1）,（2）,（3）,（4）,例4,在 ABCD 中，,你能用 表示 吗？,D,B,A,C,变式二 本例中，当 满足什么条件时，,巩固练习：,1、在 中，则,2、如图，用 表示下列向量：,D,B,A,C,E,B,A,C,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,
11、向量的减法,一、定义（利用向量的加法定义）。,二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。,复习,(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.(2)(3)若非零向量 共线,则(4)四边形ABCD是平行四边形,则必有=(5)向量 平行,则 的方向相同或相反,判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.,(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。,1、位移,F为F1与F2的合力,它们之间有什么关系,2、力的合成,F1+F2=F,向量的加法,作法（1）在平面内任取一点O,A,B,这种作法叫做向量加法的三角形法则,还有没有其他的做法？,向量加法的三角形法则,位移的合成可以看
12、作向量加法三角形法则的物理模型,C,作法（1）在平面内任取一点O,还有没有其他的做法？,向量加法的平行四边形法则,这种作法叫做向量加法的平行四边形法则,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型,已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出a+b,规定：,判断 的大小,1、不共线,o,A,B,2、共线,(1)同向,(2)反向,判断 的大小,结论,数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?,是否成立？,根据图示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_,根据图示填空:(1
13、)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_,c,f,f,g,例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字),解:(1),C,(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).,在RtABC中,船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70,小结,1.向量加法的三角形法则,(要点：两向量首尾连接),2.向量加法的平行四边形法则,(要点：
14、两向量起点重合组成平行四边形两邻边),3.向量加法满足交换律及结合律,学习目标:,1、向量的加法运算，及其几何意义,2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量,A,B,C,1、位移,2、力的合成,一、引入,二、向量的加法,求两个向量和的运算，叫做向量的加法.,1、向量加法的三角形法则,作法（1）在平面内任取一点O,o,A,B,还有没有其他的做法？,首尾相接，首尾连,2、向量加法的平行四边形法则,o,A,B,C,作法（1）在平面内任取一点O,起点相同，连对角,规定：,o,A,B,数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+a)任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律？,结论,练习：,方法与技巧：,5化简下列各式：,D,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点相同，连对角）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,1、下列说法正确的是（）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.D,D,C,C,
