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1、例题,匀质细杆 AB 的质量是 M,长度是 2l,放在铅直面内,两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角 0,初角速度等于零;试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速度,以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度 1.。,例题,解：,在 A 端脱离墙壁以前,受力如图所示。杆作平面运动,取坐标系 Oxyz,则杆的运动微分方程可写成,例题,由几何关系知,将式(4)和(5)对时间求导,得,把(a)和(b)分别代入(1)和(2),再把 NA 和 NB 的值代入式(3),例题,最后得杆 AB 的角加速度,利用关系,把上式化成积分,求得杆 AB 的角速度,例题,当杆即将脱离墙时，N
2、A0。以NA=0代入(1)，再根据(a)得,把(c)和(d)的表达式在=1 时的值代入上式，得关系,整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角,杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度 1:,长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。,A,C,vC,vA,例题4,由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心将铅直下落。,1.求杆刚刚到达地面时的角速度,由动能定理得：,A,C,vC,vA,杆刚刚到达地面时，A点为瞬心,解:,例题4,2.求杆刚刚到达地面时的地面约束力,由刚体的平面运动微分方程得,将上式沿铅垂方向投影，得,联立求解得,A
3、,C,aC,mg,N,aA,例题4,绳子 BO 剪断后,杆 AB 将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳 OA 的约束，点 A 将在铅直平面内作圆周运动.在绳子 BO 刚剪断的瞬时，杆 AB 上的实际力只有绳子 AO 的拉力 T 和杆的重力 G。,用长 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l、质量是 m 的匀质细杆悬在点 O(图 a)。当杆静止时，突然剪断绳子 BO，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。,解：,在引入杆的惯性力之前,须对杆作加速度分析。取坐标系 Axyz 如图所示。,例题,杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 RQ 和一个力偶,两者都在运动平面内，RQ 的两个分量大小分别是,
4、RxQ=maCx,RyQ=maCy,力偶矩 MCQ 的大小是,MCQ=JCz,旋向与相反(如图b),例题,由动静法写出杆的动态平衡方程,有,且对于细杆,JCz=ml2/12.,aA=aAn+aA=aCx+aCy+aAC+aACn,利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心 C 作基点,则点 A 的加速度为,例题,在绳 BO 刚剪断的瞬时,杆的角速度=0,角加速度0.因此,又 aAn=0,加速度各分量的方向如图(c)所示.把 aA 投影到点 A 轨迹的法线 AO 上,就得到,aACn=AC 2=0,而,aAC=l/2,这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件.,aA=aAn+aA=aCx+aC
5、y+aAC+aACn,例题,由动静法写出杆的动态平衡方程,有,联立求解方程(1)(4),就可求出,（4）,例题,图中两根匀质刚杆各长 2l，质量为 m，在 B 端用铰链连接，A 端用铰链固定，而自由端 C 有水平力 F 作用，求系统在铅直面内的平衡位置。,例题6-7,本例的系统具有两个自由度，它的位置可以用角 1 和 2(以顺时针为正)来表示。各主动力的作用点有关坐标是,解：,这就是约束方程。,当角 1 和 2 获得变分 1 和 2 时，各点的有关虚位移是,例题6-7,根据虚位移原理的平衡方程，有,即,例题6-7,因为 1 和 2 是彼此独立的，所以上式可以分解成两个独立方程,从而求得平衡时的
6、角度1 和 2,例题6-7,应用广义力定义,求广义力的方法,特别指出，求广义力时并不一定要从定义即出发。在解决具体问题是时，从元功出发直接求广义力往往更为方便。注意到各广义坐标q1,q2,qk是彼此独立的，因此为求某个广义力Qt可以取一组特殊的虚位移，只令，而其余的，从而写成,式中 表示仅虚位移qt非零时系统上主动力的虚功之和。于是，求得对应广义坐标qt的广义力,应用虚功,求广义力的方法,完整系统的拉氏方程是一组对应于广义坐标q1，q2，qk的k个独立二阶微分方程，式中消去了全部理想约束的未知约束力。,拉格朗日方程应用举例,（4）将Q、T（或L）代入拉格朗日方程，得到k个独立的二阶微分方程，即系统的运动微分方程组。,（3）求广义力。比较方便而且常用的是从式,求得。,（1）选定研究对象，确定该系统的自由度数目，并恰当地选择同样数目的广义坐标。,（2）用广义坐标、广义速度和时间的函数表示出系统的动能。,应用拉格郎日方程建立系统的运动微分方程时，一般步骤如下：,特别是当主动力有势时，则只须写出势能V或拉格朗日函数L=T-V，然后求偏导数。,拉格朗日方程应用举例,
