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1、1,现代金融研究专题,GARCH模型,2,1、金融时间序列的特点,尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序列普遍表现出厚尾（fat tails）和在均值处出现过度的峰度（excess peakedness），偏离正态分布。就投资回报率而言，其分布的峰度比标准正态分布的峰度高。这表明股票投资比其它行为对更多的人而言具有同向影响，即市场具有收益时更多的人会有收益，市场亏损时，更多的人会亏损，暴发户和暴跌户为少数。厚尾意味着其波动持续时间较长。波动丛集性（volatility clustering）和波动集中性（volatility pooling），波动是自相关的正负冲击的非对称性：好消
2、息和坏消息对投资者的影响以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法解决的。回归的结果可能是错误的,3,4,1、金融时间序列的特点,实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正态分布对深市日回报率样本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采用两种方法进行改进条件分布：ARCH和GARCH寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布,峰度K=8.91，大于标准峰值3，具有尖峰特征，偏度S=0.750，具有右厚尾的特征。注：1、偏度（Skemness)反映的是序列分布密度对称性的指标。若偏度大于0，则分布是右偏或正偏。反之,若偏度小于0，称
3、分布是左偏或负偏。它一般是由序列的三阶矩计算,6,峰度（Kurtosis)是用来测定序列分布的形状，一般以正态分布的峰度（=3）为标准，若峰度大于3，则表示该分布具有尖峰厚尾的特性；反之，若峰度小于3，则表示该分布具有低峰薄尾的特征。若峰度值较大，是由于存在大幅度偏离均值的异常值所造成的。峰度由序列的四阶矩来度量：,一般服从正态分布时偏度值K应有KN(0,6/n),在本次检验中95%置信度时的置信区间应为(-0.0077,0.0077),0.0077=1.96*6/1520,因此0.7514不在此区间内，故不服从正态分布。另外，如果样本数据完全服从标准正态分布时,峰度值K应有KN(3,24/n
4、),在本次检验中95%置信度时的置信区间为(3 0.031,3+0.031)=(2.969,3.031),其中0.031=1.96 24/1520。而该样本的峰度值是8.916,不在置信区间内,因此不服从正态分布。,7,金融系列波动的丛集性特征。,如图所示，为上证指数对数日收益率时间序列图，从图中直观可见，收益率存在着丛集性效应(即一次大的波动后往往伴随着大的波动，一次小的波动后往往伴随着小的波动)。,8,2 ARCH模型,ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回归条件异方差模型条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时
5、点的观测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即异方差。自回归：残差平方服从AR(p)过程:ut=0+1ut-1+2ut-2+t若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值是错误的。此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，是时变的），统计检验和置性区间就不正确！,9,10,普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使得残差平方和最小。异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大的观测值以较大的权重，给误差方差小的观测值以较小的权重。回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普通最小二乘不
6、再是有效的参数估计量的方差不再是最小的方差。这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是“伪方差”，无法证明回归参数与真实值的关系。,11,单指数模型的伪回归：中国银行,12,单指数模型的伪回归：中国银行,13,2.1 条件矩,条件均值对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的条件分布,理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数，对于X不同的取值，条件期望也是不同，即E(y|x)为随机变量。,14,所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回归。在本例中，也就是y对x的回归条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值也是一个分布。,回归与条件均值,15,2.2 ARCH模型的导出,注意：ut是一
7、个白噪声，其无条件方差是一个常数。但是ut的条件方差随时间而变化，假设 服从AR(1)过程（模型的名称来源）,16,正态-ARCH（q）,或者,或者,17,随机过程的平稳性,平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，方差）不随时间发生变化，则称该过程是平稳。区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随机性质不随时间而变。平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间序列的模型化；（2）方程的系数可以利用序列的过去数据来估计得到.,18,2.3 ARCH（1）模型的参数约束,由残差序列的平稳性可知,19,ARCH的参数的约束,残差序列ut的无条件峰度K,该ARCH模型估计
8、的残差序列的无条件分布具有尖峰厚尾特性，进一步,20,ARCH与厚尾性,参看均值方程的情形，若假设某资产的回报率满足,由于均值方程中只有残差是随机过程，则有,以上表明，利用ARCH可以描述回报序列的厚尾性！,21,实证：中石化ARCH（1）,22,ARCH的缺陷,ARCH模型对参数的限制非常严格。ARCH（1）对于参数给出的非常严格的限制，并且随着ARCH阶数的增加，其限制将更为复杂，在实际的回归过程中，可能很难满足这样的条件。ARCH（1）描述金融时间序列是不够的，ARCH（P）需要大量的参数估计，且要保证所有的参数均满足参数约束是很困难的，以及保证显著性是很困难的。现在，ARCH主要是用来
9、检验金融时间序列是否具有条件异方差效应，即ARCH检验。,23,2.4 ARCH效应检验,（1）进行均值方程的回归，可以采用普通的一元或者多元回归，或者是AR(n)的均值方程，均值方程的构建取决于金融学的研究目的AR(m)-ARCH（p）,或者,24,ARCH效应检验,（2）根据ARCH模型的定义,因此，首先由均值方程得到残差，然后对其取平方，最后判定上述的各个参数是否显著不为零,25,因此，一个联合的零假设检验，其所有q阶残差平方的系数不能显著地异于零，因此，可以采用F统计量进行参数的联合检验。,如果因变量全部由残差得到了解释，这就表明回归系数是不显著的。,26,ARCH效应的检验：中国银行
10、,ARCH Test:F-statistic12.02976Probability0.000000Obs*R-squared35.92259Probability0.000000Test Equation:Dependent Variable:RESID2Method:Least SquaresDate:01/22/07 Time:17:23Sample(adjusted):6 132Included observations:127 after adjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C 0.000118 7.33E-05
11、 1.604891 0.1111RESID2(-1)0.2492160.0884882.8163700.0057RESID2(-2)0.0187580.0804930.2330380.8161RESID2(-3)0.4786840.0804625.9491670.0000RESID2(-4)-0.2053100.088212-2.3274670.0216,27,3 GARCH模型,广义的ARCH模型（Generalized autoregressive conditionally heteroscedastic）是由Engle的学生Bollerslev（1986）和Taylor（1986）各自
12、独立的发展起来的。GARCH模型允许条件方差依赖自身的前期，最简单为GARCH(1,1),类似地，GARCH（p，q）,28,GARCH模型的优点,GARCH模型仅仅包含三个参数就可以表达ARCH存在的无穷多个参数的方程。,29,3.1 GARCH的参数约束,由ARCH模型可知,将上式代入GARCH模型有,30,在ARCH模型中，无条件方差为,则在GARCH模型中，无条件方差为,31,类似地，在ARCH模型中峰度K,则在GARCH模型中峰度K,32,3.2 正态-GARCH极大似然估计,完整的GARCH模型分为均值方程和方差方程均值方程可以设定要根据不同的意义设定,或者,33,3.2 GARC
13、H极大似然估计,34,3.2 GARCH极大似然估计,由于时间序列y抽样的时候是独立，则对于所有的联合概率密度函数有f(y)，等于边际密度的乘积,说明：对于三个独立的事件A、B和c同时发生的概率是A、B和C三者概率的乘积。同样在从时间序列抽取的样本中，这些样本既然被抽取了，便表示他们同时发生了，似然函数就是同时发生的概率。,35,将似然函数取对数，构造对数似然函数,36,建立似然方程运用osl回归得到初始参数的值，作为迭代的初始值选择对条件方差参数的一些初始值。如设定为无条件方差，或者0设定收敛准则，对于Eviews默认的收敛为0.001,算法：Berndt等（1974）提出的BHHH算法,3
14、7,中石化：正态-GARCH（1，1）,38,中石化：osl回归,39,3.3 GARCH滞后阶数的选择,在模型回归参数显著的基础上，为了挑选最优秀的模型其判定的准则是AIC准则Schwarz准则,l为对数似然值，T为样本数量，K为参数的个数,40,中石化：正态-GARCH滞后阶数选择,41,GARCH回归后的残差检验,42,4 GARCH方差预测,通过回归得到GARCH参数，以及根据t时刻的残差和方差来预测t+1时刻条件方差注意：t时刻前，由样本回归得到参数，推断样本外的方差1步预测方程为,对于n步预测，推导如下,均值方程得到,43,对于两步预测，只能采用t时刻推断出的t+1时刻的方差来估计
15、，给出的仅仅是其期望形式下的方差,44,GARCH方差预测：中石化（自回归）,样本外预测：总共样本有227个（2006/01/04 2007/01/19），回归只用了217个样本（2006/01/04 2007/01/04），剩下的10天通过预测得到（样本外预测）经过回归得到以下方程,45,46,预测结果,47,48,ARCH类模型的其它模型,1、均值自回归条件异方差模型ARCH-M模型 在金融应用中，人们很自然地会假定资产的预期收益率与资产预期风险是成比例的，即通常所说的风险越大，收益越大，所以人们将条件方差或条件标准差作为外生变量或前定变量引入到均值方程中。而根据条件均值方程的不同，将AR
16、CH模型分为一般ARCH模型和ARCH-M模型，即均值自回归方程。其模型如下：与一般ARCH模型的主要区别在于收益方程不同，考虑了风险情况。其中A代表风险系数。,49,2、指数GARCH模型(EGARCH),EGARCH模型中条件方差采用了自然对数，意味着 非负，且杠杆效应是指数型的；模型的另一个重要特征就在于引入一个参数，若0，说明信息作用非对称。当0时，则杠杆效应显著，即股市受负冲击要比正的冲击引起更大的波动，具有杠杆效应。(5)Power ARCH模型(PARCH),50,3、Power ARCH模型(PARCH),Taylor(1986)和Schwert(1989)介绍了一种标准离差的GARCH模型，即将残差的绝对值引入模型而非残差。后来这一系列模型被Ding等(1993)所总结为Power ARCH模型(简称PARCH)。在模型中，多了两个参数，一个是用来捕捉不对称信息的参数，另一个是标准离差参数。其条件方差方程如下所示：,51,52,
