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1、二、多元微分学,1.多元偏导和全微分,如同一元函数的导数,多元函数的偏导仍用 表示.,例9 求函数 的偏导与全微分.,输入命令,结果为,在上例中继续可以求出二阶偏导:,继续执行命令,2.微分法在几何上的应用,绘制法线,功能：绘制(X,Y,Z)所表示的曲面的法 线，且在点(X,Y,Z)处曲面的法线。,格式：,例10 绘制圆柱面,的法线.,程序如下,图形为,切线与法平面,画切线与法平面需先求出它们的方程,设空间曲线,当 时,相应的切线方程和法平面方,程为,切线方程,法平面方程为:,求切向量 的命令为:,a的三个元素分别为三个导数,例11 设曲线,求曲线,在 所对应点的切线和法平面方程，并画出曲,切
2、点的三个坐标,a1为切向量,线、切线和法平面方程.,故所求的切线方程为：,结果为：,法平面方程为：,下面画曲线，切线和法平面：,切线与法平面,切平面与法线,则曲面在点,处的法向量为,或,则相应的切平面为,或,设空间曲面,或,：,法线方程为,用 函数可求出给定函数的法向量.,例12：,结果为：,例12 求出曲面,在点 处的切平面,和法线方程，并画出曲面、切平面和法线.,解：,结果为：,因此所求切平面方程为,法线方程为：,下面画曲面、切平面和法线,图形为:,它的意义是：函数 f(x,y)在点(x 0,y 0)处沿着这个梯度所指方向的变化率是最大的，这个变化率为该梯度的模。,在高数书中，梯度是一个这
3、样的向量：,梯度,梯度的计算方法：,1)jacobian命令,函数,在点,梯度为：,数值梯度,格式,功能,对已知函数求两个方向上的梯度.,例13 已知二元函数,及区域,求梯度向量并作图.,程序为:,4.多元函数的极值,求极值方法,格式1,功能,用单纯性方法求函数在指定处附近的极值.,格式2,功能,用牛顿方法求函数在指定处附近的极值.,例 16 求函数,在原点附近,的极值.,先作出曲面大致图形,观察到在原点附近有,极大值或极小值.,程序为:,结果为:,三、多元函数积分,1.二重积分计算,格式:,功能:,求函数 f 对变量 x 在指定区域上a,b的定积分.,例 17 计算二重积分,输入命令,注：积
4、分区域为矩形,积分区域确定方法如下：先画出积分区域的边界.,注：要确定积分区域，才能使用int函数.,例18 求积分,其中,在第一象限,是由,围成的部分.,在matlab命令窗口中输入：,可以看到，需要求出抛物线和双曲线的交点,a,下面求抛物线和双曲线的交点,下面计算积分：,例 19 求二重积分,其中 由,围成.,解 先作出区域的图形.,需要求出这些曲线的交点,求交点的坐标,a.x,b.x,c.x,a.y,b.y,c.y,二重积分,格式一：,注：这里函数f是指M文件函数,功能：,对指定函数在矩形区域上作二重数值积分.,命令：,格式二：,注：这里函数f是指用inline命令建立的内联函数,例20 计算积分,输入,也可先定义函数文件,再调用求解函数.,注意要使用点乘，这是因为dblquad是进行数值积分，里面涉及到向量或矩阵的运算,然后在matlab命令窗口中输入：,例21 计算积分,先将此积分转化为极坐标下的积分:,再输入:,3.三重积分计算,格式,功能,求函数在指定（长方体）区域上的三重积分.,例22 计算三重积分,其中 由,确定.,解 由球面坐标:,在MatLab下完成:,定义函数,进行积分，在matlab命令窗口中输入：,而积分的近似值为:,即,
