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1、4.1 信号分解为正交函数,矢量正交与正交分解 信号正交与正交函数集 信号的正交分解,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,一、矢量正交与正交分解,矢量正交的定义：指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即,正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合,如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备.矢量A=(2，5，8)表示为 A=vx+2.5 vy+4 vz,矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。,二、信号正交与正交函数集,1.信号正交：,定义在(t1，t2)区间的 1(
2、t)和 2(t)满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。,2.正交函数集：,若n个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,3.完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,例如：三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区
3、间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+C22+Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于
4、f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的之和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,小结,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,巴塞瓦尔能量公式,4.2 傅里叶级数,傅里叶级数的三角式 傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率,一、傅里叶级数的三角形式,1.三角函数集,在一个周期内是一个完备的正交函数集。,由积分可知,1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2级数形式,系数an,bn称为傅里叶系数,注意：an是n的偶函数，bn是n的奇函数,设f(t)=f(t+mT)-周期信号、m、T、=2/T,满足狄里赫利Dirichlet条件，,称为f(t)的傅里叶级数,可分解为如下三
5、角级数,其他形式,式中，A0=a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量 A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同 A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍,可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,式中，A0=a0,可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=Ansin n，n=1,2,一般而言：Ancos(nt+n)称为n次谐波。,二、波形的对称性与谐波特性,1.f(t)为偶函数对称纵坐标,bn=0，展开为余弦级数。,2.f
6、(t)为奇函数对称于原点,an=0，展开为正弦级数。,例,3.f(t)为奇谐函数f(t)=f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 f(t)为偶谐函数f(t)=f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算,系数Fn 称为复傅里叶系数,利用 cosx=(ejx+ejx)/2可从三角形式推出：,推导,虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，,复杂，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。,指数形式付氏级数推导,上式
7、中第三项的n用n代换，A n=An、n=n,令A0=A0ej0ej0t，0=0,所以,上式写为：,令复数,n=0,1,2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指,数信号之和。F0=A0/2为直流分量。,傅里叶系数之间关系,n的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数:bn，n,四、周期信号的功率Parseval等式,Parseval定理,证明,直流功率,各次谐波功率和,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,信号频谱的概念 周期信号频谱的特点 频谱带宽,4.3 周期信号的频谱,复 习,1.三角函数集,1,cos(nt)，sin(nt
8、)，n=1,2,在一个周期内是一个完备的正交函数集，周期,信号f(t)可分解为傅里叶级数的三角形式：,即：周期信号可分解为直流分量和n次谐波分量。,A0/2为直流分量,Ancos(nt+n)称为n次谐波,其中：,n:正值,指数形式的傅里叶级数,2.虚指数函数集 ejnt，n=0，1，2，,在一个周期内是一个完备的正交函数集，周期,信号f(t)可分解为傅里叶级数的指数形式：,推导：,上式中第三项：n用n代换，A n=An、n=n,令A0=A0ej0ej0t，0=0,所以,指数形式的傅里叶形式,n:正负,其中：,Fn 称为复傅里叶系数/各频率分量的复数幅度,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不
9、同频率的,虚指数信号之和，F0=A0/2为直流分量。,所以,指数形式的傅里叶形式,傅里叶级数的复指数形式,一、周期信号频谱的概念,周期信号f(t)分解为：,或,其中：,n:正值,n:正负,周期信号频谱的概念,周期信号的频谱：指各次谐波幅值An或Fn、相位n,振幅频谱图：,n的关系画在以为横轴的平面,随频率（n）的变化关系。,相位频谱图：,将An 或Fn 的关系分别画在以,为横轴的平面上得到的图。,上得到的图。,单边频谱图：,双边频谱图：,An,Fn,频谱图示（单边）,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,=n,单边频谱图例1,例：周期信号 f(t)=,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,
10、显然1是该信号的直流分量。,的周期T1=8,的周期T2=6,所以f(t)的周期T=24，基波角频率=2/T=/12,试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率P。,是f(t)的(/4)/(/12)=3次谐波分量；,是f(t)的(/3)/(/12)=4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图：,例2,请画出其幅度谱和相位谱,解：化为余弦形式,单边频谱图,三角函数形式的傅里叶级数的谱系数,双边频谱图,整理,二、周期信号频谱的特点,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示,求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x(取
11、样函数）,n=0,1，2，,(1)包络线形状：取样函数,(3)离散谱（谐波性）,周期信号频谱的特点,T一定，变小，此时=2/T(谱线间隔)不变,两零点之的间谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。,(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频,的整数倍；,一定，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱，各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,(2)一般具有收敛性，总趋势减小。,谱线的结构与波形参数的关系:,画图说明,三频带宽度,1.问题提出,第一个零点集中了信号绝大部分
12、能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。,周期矩形脉冲信号的功率,而总功率,二者比值,2频带宽度,在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围,对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率区间定义为频带宽度。,矩形：一般把第一个零点作为信号的频带宽度。,语音信号 频率大约为 3003400Hz,音乐信号 5015,000Hz,扩音器与扬声器 有效带宽约为 1520,000Hz,3.系统的通频带信号的带宽，才能不失真,带宽与脉宽成反比,内的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。,记为：,4.4 非周期信号的频谱,傅里叶变化 常用函数的傅里叶变化,一傅里叶变换,1.
13、引出,周期信号f(t)，其指数形式傅里叶级数：,其频谱Fn：,T,频谱强度Fn无穷小,对非周期信号：,再用Fn表示频谱就不合适了。,傅里叶变换,2.频谱密度的概念,知道：,F(j)：称为频谱密度函数（含义）。,T,频率=,谱线间隔,(n)无穷小,离散频率n连续频率表示,无穷小,T,频谱强度Fn0，但Fn0且连续,定义：,F(j)=,F(n)T=,:频率量纲,F(j)表示单位频率上频谱值,傅里叶变换,3.傅里叶变换对的推导,谱线间隔(n）=,F(j)=,F(j)=,f(t),f(t)=,f(t)=,函数f(t)的傅里叶变换,傅里叶变换,(n）,变换：,f(t)=,n,ejntejt,f(t)=,
14、函数F（j)的傅里叶逆变换,也可简记为,f(t)F(j),F(j)一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j()=R()+jX(),说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,或F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j),f(t)傅里叶变换存在的充分条件:,复习,一、周期信号：,1.傅里叶的三角函数形式,2.傅里叶的复指数形式,复习,3.频谱的概念,振幅频谱图：,相位频谱图：,An 或Fn,n,单边频谱图：,双边频谱图：,An,Fn,一、非周期信号：,1.傅里叶变换,复习,F(j)=,f(t)=,二、常用函数的傅里叶变换,1.矩形脉冲(门函数）,
15、记为g(t),(,t,频谱图,幅度频谱,相位频谱,频宽：,F(j)一般是复函数：F(j)=|F(j)|e j(),2单边指数函数,f(t)=et(t)，0,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,3双边指数函数,f(t)=e|t|，0,F(j)=|F(j)|e j(),4冲激函数(t)、(t),5直流信号1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在，直接用定义式不好求解。可构造一函数序列f(t)逼近f(t)，即,而f(t)满足绝对可积条件，并且f(t)的傅里叶变换所形成的序列F(j)是极限收敛的，则可定义f(t)的傅里叶变换F(j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里
16、叶变换。,讨论：,推导 1?,构造 f(t)=e-t，0,所以,又,因此，12(),双边指数函数,0,=0,强度,求F 1另一种方法,将(t)1代入反变换定义式，有,将=-u，有,再根据傅里叶变换定义式，得,将t=，有,将u=t，有,直流/常数傅里叶变换是冲击函数,6.符号函数,不满足绝对可积条件,f(t)=et(t)，0,频谱图,7.阶跃函数,12(),归纳记忆：,1.F 变换对,2.常用函数 F 变换对：,(t),(t),e-t(t),g(t),sgn(t),e|t|,1,1,2(),4.5 傅里叶变换的性质,线性 奇偶性 对称性 尺度变换 时移特性,频移特性 卷积定理 时域微分和积分 频
17、域积分和微分 相关定理,一线性性质,If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)then,a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j),Proof:F a f1(t)+b f2(t),=a F1(j)+b F2(j),例1,线性性质例,For example F(j)=?,Ans:f(t)=f1(t)g2(t),f1(t)=1 2(),g2(t)2Sa(),F(j)=2()-2Sa(),=,-,二奇偶虚实性,If f(t)is real function,and,f(t)F(j)=|F(j)|ej()=R()+jX(),then,R()=R()，X()=X(),Proof-
18、3,|F(j)|=|F(j)|，()=(),f(t)F(j)=F*(j),If f(t)=f(t)then X()=0，F(j)=R(),If f(t)=f(t)then R()=0，F(j)=jX(),奇偶虚实性证明,设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）,变换：,t=-u,即：,三*、对称性,If f(t)F()then,Proof:,上式：t，t,变化：-,F(t)2f(),F(t)2f(),例题-3,对称性举例1,For example,f1(t),F1(),F2(),f 2(t),1,2,1,f(t)F(),F(t)2f(),1,对称性举例2,For example,F(
19、j)=?,Ans:,if=1,f(t)F(),F(t)2f(),四、尺度变换性质,If f(t)F(j)then,where“a”is a nonzero real constant.,Proof,Also,letting a=-1,f(-t)F(-j),奇偶虚实性,尺度变换证明,Proof:,F f(a t)=,a 0:,F f(a t),a 0:,F f(a t),f(a t),That is,尺度变换例,For example 1,f(t)=F(j)=?,Ans:,Using symmetry,so that,f(t)F(),F(t)2f(),f(-t)F(-j),尺度变换意义,(1)f
20、(at)0a1时域扩展,频带压缩,脉冲持续时间增加-1/a倍-变化慢了，信号在频域的频带压缩-a倍、高频分量减少、幅度上升a倍。,t/2=/2 t=,f(a t),(2)a1 时域压缩，频域扩展a倍,(3)a=-1 时域反转，频域也反转,脉冲持续时间短，变化快；,尺度变换意义,f(a t),在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。,f(-t)F(-j),五、时移特性,If f(t)F(j)then,where“t0”is real constant.,Proof:F f(t t0),Example,时移特性举例1,For example F(j)=?,Ans:f1(t)=g6(t-
21、5),f2(t)=g2(t-5),g6(t-5),g2(t-5),F(j)=,+,时移特性举例2,求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,时移特性举例2,因为,脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。,单纯地克把这个波形看为一种调制，,时移尺度举例3,For example 2,Given that f(t)F(j),find f(at b)?,Ans:f(t b),e-jb F(j),or,f(at),f(at b)=,f(at b),六、频移性质,If f(t)F(j)then,Proof:,where“0”is real constant.,F e j0t f(t),=F j(-0),Fo
22、r example 1,f(t)=ej3t F(j)=?,Ans:1 2()ej3t 1 2(-3),Example 2,频移（调制）特性例,例：已知矩形调幅信号,解：,因为,其中g(t)为矩形脉冲，脉宽为，求频谱函数。,矩形脉冲g(t)的频谱G(j):,由频移特性：,频移（调制）特性例,意义,将频谱的包络线一分为二，向左、向右各平移0,七、卷积性质,Convolution in time domain：,If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),Convolution in frequency domain：,If f1(t)F1(
23、j)，f2(t)F2(j),Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j),Proof,Example,时域卷积定理的证明,Ff1(t)*f2(t),So that,Interchanging the order of integration,Using time shifting,f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),卷积定理举例,For example,Ans:,Using symmetry,八、时域的微分和积分,If f(t)F(j)then,Proof:,f(n)(t)=(n)(t)*f(t),f(t)=(t)*f(t),f(n)(t)=(n)(t)*f(t)F(n)(t)
24、*f(t),F(n)(t)*f(t)=,时域的微分和积分,If f(t)F(j),Proof:,时域微分定理：,时域微分定理：,两边对t求导：,所以：,反复：,时域的微分和积分,Example,f(-1)(t)=(t)*f(t),时域积分定理：,Proof:,时域微分特性例1,f(t)=1/t2?,For example 1,Ans:,f(t)F(),F(t)2f(),For example 2,Determine f(t)F(j),Ans:,f”(t)=(t+2)2(t)+(t 2),F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2,F(j)=,f，(t)=u(t+2)2
25、 u(t)+u(t 2),If f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n,Notice:以上结果并不是永远成立,d(t)/dt=(t)1,(t)1/(j),解释,因为他们的傅立叶变换不是直接得到的,九、频域的微分和积分,If f(t)F(j)then,(jt)n f(t)F(n)(j),where,Example 1,频域的微分定理：,频域的积分定理：,例1,For example 1,Determine f(t)=t(t)F(j)=?,Ans:,Notice:t(t)=(t)*(t),Its wrong.Because()()a
26、nd(1/j)()is not defined.,(jt)n f(t)F(n)(j),For example 2,Determine,Ans:,十、相关定理,If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)，f(t)F(j)then F R12()=F1(j)F2*(j)F R21()=F1*(j)F2(j)F R()=|F(j)|2,Proof,相关定理证明,利用相关函数与卷积积分的关系 R12()=f1()*f2(),F R12()=F f1()*f2()=F f1()F f2(),由于F f2()=F2(j)=F2*(j)故 F R12()=F1(j)F2*(j),4.6 能量谱和功率谱
27、,帕斯瓦尔关系Parsevals Relation 能量谱 功率谱能量谱和功率谱分析,一帕塞瓦尔关系Parsevals Relation,Example,Proof,帕塞瓦尔能量关系证明,证法一：,证法二,证明方法二,由相关定理知,所以,又能量有限信号的自相关函数是,因此，得,帕塞瓦尔能量关系例,For example,Determine the energy of,Ans:,二能量谱密度（能量谱）,定义,能量谱指单位频率的信号能量，记为E(),在频带df内信号的能量为E()df，因而信号在整个频率范围的总能量,由帕塞瓦尔关系可得,E()=|F(j)|2,R()E(),能量谱函数与自相关函数是
28、一对傅里叶变换对。,三、功率谱,是功率有限信号如周期信号,转化为能量信号,定义,功率谱指单位频率的信号功率，记为P(),在频带df内信号的功率为P()df，因而信号在整个频率范围的总功率-平均功率,P()=,因此,R()P(),功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。,维纳-欣钦关系式,例1,例2,功率谱例1,求余弦信号,的自相关函数和功率谱。,解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有,to取0即平均功率,求功率谱,因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱为:,P(),无穷大积分可得平均功率,功率谱例2,白噪声，其功率谱密度为PN()=N(常量)，-,
29、解：利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数,由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。,求自相关函数。,四、能量谱和功率谱分析,时域,频域,因此,显然,物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与|H(j)|2的乘积。,同样，对功率信号有,Py()=|H(j)|2 Pf(),例,功率谱分析例,解：,系统函数为,输出功率谱：,自相关函数,考虑到,由,得,平均功率,t=0,4.7 周期信号的傅里叶变换,正余弦函数的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 傅里叶系数属于傅里叶变换,周期信号：f(t)傅里叶级数Fn 离散谱,周期信号的傅里叶变换
30、如何求？与傅里叶级数的关系？,非周期信号：f(t)傅里叶变换F(j)连续谱,一正、余弦的傅里叶变换,已知 12(),同理,e j 0 t 2(+0),e j 0 t 2(0),频移特性,频谱图,二、一般周期信号的傅里叶变换,说明：,(1)离散谱-周期信号fT(t)的傅氏变换由冲激序列,(2)谱线的幅度不是有限值，而是冲击函数；,组成，且冲激函数仅存在于谐波频率处；,eint 2(n),(3)含义频谱密度，在频谱点取得无限大的频谱值。,周期信号傅氏变换例,例1：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：,1,t,T,2T,3T,-T,0,0,2,3,-,表达式：,傅里叶系数：,傅里叶变换：,在积分曲卷
31、内只有(t),周期信号傅氏变换例,例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即,f(t)=T(t)*f0(t),F(j)=()F0(j),F(j),f0(t)=g2(t),周期信号fT(t)求其傅里叶变换：,即单脉冲信号 f0(t)，则,一般：从周期信号fT(t)中截取一个周期如,fT(t)=T(t)*f0(t),其中,F(j)=()F0(j),=F0(j)(),时域卷积定理,三、傅里叶系数与傅里叶变换关系,截取：一个单脉冲f0(t)，其傅氏变换F0(j),推导：傅氏变换F0(j)傅氏系数Fn的关系：,应证傅变换定义,4.8 LTI
32、系统的频域分析,基本信号e j t作用于LTI系统的响应 一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 频率响应H(j)的求法 无失真传输与滤波,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其基本信号为 ej t,一虚指数函数e j t作用于LTI系统的响应,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率,上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，,y(t)=H(j)ej t,表明：激励为幅度为1的虚指数函数 ejt时，系统,y(t)=h(t)*ej t,由卷积定义：,的虚指数信号ej t时，其零状态响应,记为H(j)，称为系统的频率响应函数。,H(j
33、)反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况。,的响应是系数为H(j)的同频率虚指数函数。,旋转因子,二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应,ej t,H(j)ej t,F(j)ej t d,F(j)H(j)ej t d,齐次性,可加性,f(t),y(t)=F 1F(j)H(j),Y(j)=F(j)H(j),频域分析法步骤：,频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变,H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；()称为相,傅里叶变换法,换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即,频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，(),是的奇函数。,频域分析例,例：某LTI系统的H(j)
34、和()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。,解法一：用傅里叶变换,F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10),Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5)+(+5)H(-j5)+4(10)H(j10)+(+10)H(-j10),H(j)=H(j)ej(),=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5),y(t)=F-1Y(j)=2+2sin(5t),解法二：用三角傅里叶级数,f(t)的基波角频率=5rad/s,f(t)=2+4cos(t)+4cos(2t),H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0,y(
35、t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t),三、频率响应H(j)的求法,1.H(j)=F h(t),H(j)=Y(j)/F(j)（1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。（2）由电路直接求出。,例,频率响应例1,例1：某系统的微分方程为,解：微分方程两边取傅里叶变换,jY(j)+2Y(j)=F(j),f(t)=e-t(t),Y(j)=H(j)F(j),y(t)=(e-t e-2t)(t),求f(t)=e-t(t)时的响应y(t)。,y(t)+2y(t)=f(t),频率响应例2,例：如图电路，R=1，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。若uS(t)=2cos(t)
36、，求uC(t)=？,解：画电路频域模型,h(t)=e-t(t),由于,四、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类：信号的传输 滤波传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。,1、无失真传输,（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j),(2)无失真传输条件：,系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t
37、td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即 H(j)=K,()=td,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,例,无失真例,例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),相位特性为什么与频率成正比关系？,只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延
38、迟后各次谐波叠加方能不失真。,延迟时间td 是相位特性的斜率：,群时延或称群延时,在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。,例,失真的有关概念,线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。,线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频率成分；非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。,对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输；利用失真波形变换。,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低
39、通滤波器的频率响应可写为：,的低频段内，传输信号无失真。,理想低通的冲激响应,h(t)=-1g 2 c()e-jtd=,可见，它实际上是不可实现的非因果系统。,理想低通的阶跃响应,g(t)=h(t)*(t)=,经推导，可得,称为正弦积分,阶跃响应波形,说明,（1）上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，：,（2）有明显失真，只要c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。,gmax=0.5+Si()/=1.0895,一种可实现的低通,理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想低通滤波器的实例,3、物理可实现系统的条件,就时域特性而言，一个物理可
40、实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即 h(t)=0,t0 即 响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,4.9 取样定理,信号的取样 取样定理,取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。,一信号的取样
41、,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号fs(t)。它是对信号进行数字处理的第一个环节。,脉冲序列,数字处理过程：,需要解决的问题：,Fs(j)与F(j)的关系,由fs(t)能否恢复f(t)?,1理想取样（周期单位冲激取样）,f(t)F(j)(m m),s(t)S(j),fs(t)Fs(j),2冲激取样信号的频谱,=,*,=,TS 取样间隔S 取样角频率,画fS(t)的频谱时，设定S 2m,这时其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)，从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t);否则
42、将发生混叠。,二、时域取样定理,一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts1/(2fm)上的样点值f(kTs)确定。,恢复,由取样信号恢复原信号,理想低通滤波器,滤除高频成分，即可恢复原信号,从时域运算解释,对C要求:m CS-m,时域运算,以理想抽样为例,理想低通滤波器：,说明,连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于取样值f(nTs)。也可以说在取样信号fs(t)的每个取样值上画一个峰值为f(nTs)的Sa函数波形，由此合成的信号就是fs(t)。,奈奎斯特(Nyquist)频率和间隔,注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1
43、）f(t)必须是带限信号；（2）取样频率不能太低，必须fs2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。,通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率；把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。,频域取样定理,根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理:一个在时域区间（-tm，tm)以外为0的时限信号f(t)的频谱函数F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs fs1/(2tm)上的样值点F(jns)确定。,4.10 序列的傅里叶分析,周期序列序列的离散傅里叶级数DFS 非周期序列的离散时间傅里叶变换DTFT)四种傅里叶变换的
44、特点和关系,将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号称为序列的傅里叶分析。,一周期序列的离散傅里叶级数(DFS),周期序列记为fN(k)，N为周期，数字角频率为,由于 也是周期为N的序列，即,由于 也是周期为N的序列，即,则fN(k)可展开为,推导,注意：ejk是周期为2的周期函数。,离散傅里叶系数推导,两端同乘e-jmk，并在一个周期求和，有,上式右端对k求和时，仅当n=m时为非零且等于N，故上式可写为,DFS定义,令,则,FN(n)称为离散傅里叶系数。,称为周期序列的离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series,DFS)。,令 则,离散傅里叶级数变换对,注意：
45、fN(k)只有N个谐波分量。,例,离散傅里叶级数例,例 求图所示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式。,解 周期N=4，=2/N=/2，求和范围取为0，3,fN(k)=2+(1 j1)ej0.5k+(1+j1)ej1.5k/4=0.51+cos(0.5k)+sin(0.5k),二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT),周期序列fN(k),非周期序列f(k),连续谱；,离散谱,1.引出,0,定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform,DTFT)为,逆变换的导出,fN(k)f(k),由于n的取值周期为N，2n/N的周期为2，所以
46、周期为2。,非周期序列的离散时间傅里叶逆变换,表示,说明：F(ej)是的连续周期函数，周期为2。DTFT存在的充分条件是f(k)满足绝对可和，即,例,DTFT举例,例：求下列序列的离散时间傅里叶变换。,解 F1(ej)=DTFTf1(k)=,三、四种傅里叶变换的特点和关系,，,，,一般说来，在一个域中为连续的表示，在另一个域中就是非周期性的表示；与此对比，在一个域中为离散的表示，在另一个域中就是周期性的表示。,关系,fT(t)的傅里叶级数(CFS)与f(t)的傅里叶变换(CTFT)的关系,f(t)为剪裁fT(t)主周期得到的非周期信号。,fN(k)的离散傅里叶级数(DFS)与f(k)的离散时间
47、傅里叶变换(DTFT)的关系,FN(n)=F(ej)，F(e j)=FN(n),f(k)为剪裁fN(k)主周期得到的非周期序列。,4.11 离散傅里叶变换及其性质,离散傅里叶变换 DFT与DTFT、DFS的关系 DFT 的性质,离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去实现，然而序列f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)是的连续函数。为便于计算机去实现，引入离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT),一离散傅里叶变换(DFT),借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT。,将有限长序列f(k)延拓成周期为N的周期序列fN(k),若将f(k)，F(n)分别
48、理解为fN(k)，FN(n)的主值序列，那么，DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同。,例,DFT举例,例：求下列矩形脉冲序列的离散傅里叶变换。,解 F(n)=DFTf(k)=,仅当n=0时，,F(0)=N,当n=1，2，N-1时，,F(n)=N(n),F(n)=0,二、DFT与DTFT、DFS的关系,（1）离散傅里叶变换DFT是为了便于用计算机近似计算离散时间傅里叶变换DTFT而引入的。因此，DFT与DTFT存在一定关系，其关系为F(n)是对F(e j)在2周期内进行N次均匀取样的样值，即 F(n)=F(ej)（2）若周期序列fN(k)看作有限长序列f(k)以N为周期拓展而成，则fN(k
49、)离散傅里叶级数DFS的FN(n)与f(k)离散傅里叶变换DFT 的F(n)在0N1范围相等。,例,DTFT与DFT举例,例：求矩形脉冲序列的DTFT和DFT(N=10)。,三、离散傅里叶变换的性质,1.线性,若 f1(k)F1(n)f2(k)F2(n),则 a1f1(k)+a2 f2(k)a1F1(n)+a2F2(n),2.对称性,若 f(k)F(n),则 F(k)N f(n),f(n)应是f(n)周期拓展之后反转称圆周反转。,3.时移特性,圆周位移（循环位移）：将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，再右移m位，得到时移序列fN(k m)，最后取其主值而得到的序列称为f(k)的圆
50、周位移序列，记为 f(k m)NGN(k),时移特性,若 f(k)F(n),则 f(k m)NGN(k)WmnF(n),证明,DFT时移特性证明,DFT f(k m)NGN(k)=DFT fN(k m)GN(k),令i=k-m，有,DFT f(k m)NGN(k)=,由于fN(k)和 都是以N为周期的函数，因此,故,DFTf(k m)NGN(k)=WmnF(n),4.频移特性（调制）,若 f(k)F(n),则 Wl kf(k)F(n l)NGN(n),5.时域循环卷积（圆卷积）定理,线卷积：,有限长序列f1(k)和f2(k)的长度分别为N和M，则两序列的卷积和f(k)(称为线卷积)仍为有限长序
