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1、第7章 傅里叶变换,本章学习目标 1、了解傅里叶积分;2、理解傅里叶变换;3、掌握 函数及傅里叶变换;4、熟悉傅里叶变换的性质.,积分变换,所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数)乘上一个确定的二元函数,然后计算积分,即 这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.,第7章 傅里叶变换,7.1傅里叶变换的概念与性质,4,7.1.1 傅里叶积分,1、连续或只有有限个第一类间断点2、只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,
2、通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间-T/2,T/2上,5,因此,任何满足狄氏条件的周期函数,可表示为三角级数的形式如下:,6,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:,其中,7,例1 定义方波函数为,如图所示:,1,-1,o,t,f(t),1,8,现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则,9,则,10,sinc函数介绍,11,sinc函数的图形:,sinc(x),x,12,前面计算出,w,13,现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为
3、8的周期函数f8(t),1,-1,7,T=8,f8(t),t,14,则,15,则在T=8时,w,16,如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出,w,17,一般地,对于周期T,18,当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布,称作f(t)的傅里叶变换.,19,对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函
4、数fT(t),使其在-T/2,T/2之内等于f(t),在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有,20,21,22,如图,O w1 w2 w3 wn-1wn,w,23,24,此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为 的傅里叶积分(简称傅氏积分).,若函数 在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点）,并且在 上绝对可积，则有：,傅氏积分存在定理,为连续点,为间断点,上式
5、称为傅氏积分的复指数形式，利用欧拉公式，也可以转化为三角形式.,26,27,又考虑到积分,最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式,也叫做 的傅氏积分表达式,如果函数 满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设,7.1.2 傅里叶变换的概念,叫做,的傅氏变换,象函数,可记做,=,叫做,的傅氏逆变换,象原函数,=,例2 求函数 的傅氏变换,解,例3 求指数衰减函数 的傅氏变换和傅氏积分表达式.,解,这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数,t,f(t),若 上式右端为,于是,7.1.3 函数及其傅里叶变换,在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,
6、除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.,函数的定义,（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为 函数：,1,函数用一个长度等于1的有向线段
7、来表示,如下图,o,定义为满足下列条件的函数,如下图,1,o,函数的性质,（1）对任意的连续函数,都有,（2）,函数为偶函数,即,（3）,其中,称为单位阶跃函数.反之,有,.,O,t,u(t),函数的傅里叶变换,由于,=,可见,=1,-11=,.,与常数1构成了一个傅氏变换对,即,与 也构成了一个傅氏变换对,即,一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对,例4 可以证明单位阶跃函数,的傅氏变换为,的积分表达式为,p,w,O,|F(w)|,例5 证明,的傅氏变换为,证明,=,所以,例6 求正弦函数,的傅氏变换,可以证明,p,p,-w0,w0,O,w,|F(w)|,t,sint,7.1.4 傅里叶变换
8、的性质,1 线性性质,=,设,为常数则,=,这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.,2 对称性质,则以,为自变量的函数,的象函数为,即,3 相似性质,=,若,则,4 平移性质,为实常数,则,（1）象原函数的平移性质,例7 求,解 因为,所以,（2）象函数的平移性质,为实常数,则,例8 已知,求,解,显然,一般地,且 则,5 微分性质,一般地,若,则,（1）象原函数的微分性质,例9 证明,证明 因为,所以,一般地,（2）象函数的微分性质,若,=,则,或,例10 已知,求,解,6
9、 积分性质,若,=,则,在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为,第7章 傅里叶变换,7.2傅里叶变换的应用,7.2.1 傅氏变换的物理意义频谱,在频谱分析中,傅氏变换 又称为 的频谱函数,而它的模 称为 的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.,可以证明,频谱为偶函数,即,53,例1 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图,f(t),单个矩形脉冲的频谱函数为:,t,E,-t/2,t/2,54,矩形脉冲的频谱图为,w,Et,|F(w)|,O,55,振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即,56,我们定义,为f(t)的相角频谱.显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w).,
