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1、5-2 系统稳定的充要条件,第五章 控制系统的稳定性分析,5-1 控制系统的稳定性分析,5-3 代数稳定性判据,5-7 系统的相对稳定性,5-4 乃奎斯特稳定判据,5-5 乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性,5-6 伯德图判据,一、稳定性的概念,定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。,上述稳定是“渐近稳定”的,“线性”系统通常是线性化的,因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论,总结,5-1 线性系统的稳定性,稳定的摆,不稳定的摆,5-1 线性系统的稳定性,1940年11月7日，
2、一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,5-1 线性系统的稳定性,无限放大直到饱和,无输入时因干拢直至饱和,5-1 线性系统的稳定性,控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。,(a)外加扰动,注意：以上定义只适用于线形定常系统。,稳定性的定义,5-1 线性系统的稳定性,(b)稳定,(c)不稳定,注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,5-1 线性系统的稳定性,大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有
3、多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,(a)大范围稳定,5-1 线性系统的稳定性,(b)小范围稳定,否则系统就是小范围稳定的。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,5-1 线性系统的稳定性,(a)不稳定,5-1 线性系统的稳定性,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。,5-1 线性系统的稳定性,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的
4、作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。,稳定的条件：,稳定的充要条件,5-2 稳定的充要条件,理想脉冲函数作用下 R(s)=1。,对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。,5-2 稳定的充要条件,由上式知：如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0。,5-2 稳定的充要条件,自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,5-2 稳定的充要条件,结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。,5-2 稳定的充要
5、条件,某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数；为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。,由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为,令,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。,无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。,结构不稳定系统,校正装置,下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题,根据以上分析，系统的稳定性判别归结为：,问题：系统的闭环特征方程：解高阶微分方程求根困难，能否不解高阶微分方程可以知道
6、根分布情况？,如果 系统的闭环特征根至少有一个根Si0 或 复根时它的实部-kk0 即 根平面的右半面有闭环特征根，那麽 系统闭环是不稳定的。,5-2 稳定的充要条件,系统稳定的必要条件,设系统 特征根为p1、p2、pn-1、pn,各根之和,每次取两根乘积之和,每次取三根乘积之和,各根之积,全部根具有负实部,5-3 代数稳定性判据,反之，如果系数ai全部同号则不能确定系统是稳定的；进入第二步继续判别；,闭环特征方程：,1、闭环特征方程如果系数ai不是全部同号或有等于零的项（缺项），则系统不稳定；,5-3 代数稳定性判据,一、劳斯判据,分母都是第一列的元素，如第三行第二列,劳斯阵列表:,2、建立
7、劳斯阵列表,3、判别劳斯阵列表第一列系数 第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；否则，系统不稳定。,5-3 代数稳定性判据,注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,例：,5-3 代数稳定性判据,例：,1、闭环特征方程系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；,2、建立劳斯阵列表,因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。,又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极点在S平面的右半面。,该系统有五个根：-2.0461 0.7336 1.1577i-0.7105 0.8922i,5-3 代数稳定性判据,2、建立劳斯阵列表,1、闭环特征方程系数全部大于零，继续第
8、二步；,该系统四个根：-1.8832-0.5310+0.2071 0.9783i,第一列元素等于零时，系统不稳定。用代替，可继续计算确定右半面的极点个数。,由于2-2/0，故认为变号两次，有两个极点在S平面的右半面。,+-+,5-3 代数稳定性判据,劳思(routh)判据的特殊情况 特殊情况1：第一列出现0 特殊情况2：某一行元素均为0,特殊情况：第一列出现0。,各项系数均为正数,解决方法：用任意小正数代之。,特殊情况1：第一列出现0,5-3 代数稳定性判据,特殊情况：某一行元素均为0,解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。,各项系数均为正数,求导得:,例如
9、：,特殊情况2：某一行元素均为0,5-3 代数稳定性判据,二、劳斯判据的其他应用,1、确定系统稳定时的参数取值范围,2、确定系统稳定裕量 用(S-)代替S，如果用ROTH判据判断仍能稳定，则表明该系统至少有稳定裕量,带参数计算ROTH阵列表第一列元素；令含参数的元素大于零，得到系统稳定时的参数取值范围,5-3 代数稳定性判据,5-3 代数稳定性判据,估计稳定裕量,例4,S3 1 17S2 7 11S1 0S0 11 0,设 S=S 0，若0=1,用S=S 1代入,此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。,5-3 代数稳定性判据,5-4 乃奎斯特稳定性判据,系统的开环频率特性Gk(j)G(j)H
10、(j)来判断系统特征方程1+G(s)H(s)0的特征根是否具有全部负实部的根,用分析或实验的方法来求得系统的频率特性，另外在用Nyquist判据我们还能指出系统稳定性的储备即相对稳定，因此利用它来判断系统的稳定性,一、米哈伊洛夫定理,1.定理：设n次多项式D(s)有p个零点位于复平面的右半平面，q个零点在原点上，其余n-p-q个零点位于左半平面，则当以s=j代入D(s)并令从0时，D(j)的角增量为：,5-4 乃奎斯特稳定性判据,则当以s=j代入D(s)并令从0时，D(j)的角增量为：,实根情形,n-p-q个零点位于左半平面,共轭虚根情形(01),设根位于左半s平面,当由0变化到时，,j+p1
11、的相角变化范围：-0/2,变化量：/2+0,j+p2的相角变化范围：0/2,变化量：/2-0,共轭虚根情形(01),设根位于左半s平面,当由0变化到时，,j+p1的相角变化范围：-0/2,变化量：/2+0,j+p2的相角变化范围：0/2,变化量：/2-0,一、米哈伊洛夫定理,1.定理：设n次多项式D(s)有p个零点位于复平面的右半平面，q个零点在原点上，其余n-p-q个零点位于左半平面，则当以s=j代入D(s)并令从0时，D(j)的角增量为：,2推论：n次多项式D(s)的所有零点均在s左半平面时，则以sj代入，令从0时，D(j)的角连续增大，（此时，p=0，q=0）,5-4 乃奎斯特稳定性判据
12、,二、函数F(s)与开环、闭环传递函数零点和极点的关系,以其特征方程构成一函数:,三、Nyquist稳定判据,1判据：1)若系统开环稳定(即Gk(j)无极点在s右半平面)，则闭环系统稳定的充要条件是：Gk(j)的Nyquist图当从0变到+不包围(-1，j0)点,开环稳定时，根据米哈伊洛夫定理:,闭环稳定时，根据米哈伊洛夫定理:,说明F(j)不包围原点，对应于G(j)H(j)不包围（-1，j0）,2)若开环不稳定，有p个极点在s右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是：Gk(j)的Nyquist图当从0变到+必须包围(-1，j0)点，并且绕该点朝逆时针方向转p/2圈。,解：=0 Ak()=K k(
13、)=0=Ak()=0 k()=-180,四、Nyquist判据应用举例,（一）0型系统（注意与0阶的区别）开环分母S中的=0，例1：T1、T2、K0,由此可知，Gk(j)不包围（-1,j0）点，又Gk(j)的极点在右平面为零，即P=0，所以系统无论T1、T2、K为何值，该闭环系统均稳定且绝对稳定,一阶、二阶惯性环节闭环稳定,=0时，Ak()=K，k()=0=时，Ak()=0，k()=-90,它的图形取决于K和T1、T2、T3、1、2的大小,但当T1、T2、T3较大而1、2较小时，其k()在高频时可能达-180以上，它有可能包含（-1,j0）点,例2：,由此可知，对于0型系统，只有开环传递函数分
14、母的阶次在三阶以上时，才有可能使闭环系统不稳定。,G(j)H(j),例：解：该例与惯性环节有相似的地方，其Nyquist图为位于左下平面的半圆，属开环不稳定当K1时，从0曲线包围（-1，j0）点1/2圈，则系统稳定；当K1时，从0曲线包围（-1，j0）点0圈，则系统不稳定。,（二）I型系统：开环分母S中的=1,=0+时，Ak()=，k()=-90时，Ak()=0，k()=-270,有零根，将S=0按左半平面处理，即把零根看作具有负实部的根，因为该系统开环在S右半平面无极点P=0，开环稳定，起点k=-90，,是否稳定由各参数确定，如在小时闭环不稳定，大时可使闭环稳定，K较小时，也可使系统稳定。,
15、例2：开环传递函数为：试确定保证系统稳定的K的取值范围,当开环频率特性的乃氏图通过复平面的(-1,j0)点时，则闭环系统将处于临界稳定状态。设通过(-1,j0)点时频率为0，则系统稳定的临界条件为：,开环增益K越大，对系统稳定性越不利,（三）II型系统：开环分母S中的=2,=0时,Ak()=，k()=-180时,Ak()=0，k()=-180k()=-180-arctgT+arctg,通过以上对I型II型的例子可以看出，对系统串入一阶微分环节（导前环节）可改善系统的稳定性，只要选择足够大的时间常数，便可使系统稳定。增益K小可改善系统的稳定性。,五、稳定判据的物理解释：,1、如果A()=1，()
16、=-180,系统闭环后，就无须输入r(t)而自己维持正弦振荡，即：系统输出无法控制,2、如果()=-180时A()1,系统闭环后，r(t)-b(t)越来越大，系统不稳定,系统稳定必须：A()=1 时()-180()=-180时 A()1,1前向通道串联延时环节2前向通道并联延时,5-5 乃氏判据分析延时系统的稳定性,对稳定性不利,5-6 伯德图判据,利用开环频率特性的极坐标图(Nyquist图)来判别闭环系统稳定性的方法是Nyquist判据的方法 若将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即Bode图，也同样可以利用它来判别系统的稳定性这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或Bode判据，
17、它实质上是Nyquist判据的引申.,乃氏曲线和Bode图的对应关系,Bode图实轴增益为零，对应乃氏曲线是单位圆,-180,极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180线，,乃氏曲线和Bode图的对应关系,增益为零时的频率称幅值穿越频率,相角=-180时的频率称相角穿越频率,如何代数方法求取?,练习1,曲线顺时针包围点(-1，j0)，即曲线先 在时交于交于单位圆，后在 时才负实轴,练习1,对数幅频特性先在时 交于0分贝线 对数相频特性后在 时交于-180线，,练习2,曲线顺时针包围点(-1，j0)，即曲线先 在时交于负实轴，后在 时才交于单位圆,练习2,对数相频特性先在 时交于-180线，
18、对数幅频特性后在 时交于0分贝线,对数判据可表述如下,在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即，则闭环系统稳定；若两者相等，则临界稳定，否则不稳定。,或换言之：若开环对数幅频特性达到0分贝，其对数相频特性还在180度线以上，即相位还不足，则闭环系统稳定；若开环相频特性达到180度时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值不到1，则闭环系统不稳定.,对数判据表述,P不等于0时:对于0型或1型系统 在Bode图上，当由0变到+时，开环对数相频特性在 的频率范围(即开环对数幅频特性不为负值的范围)内，正穿越和负穿越 轴线的次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定此即闭环系统稳
19、定的充要条件.见教材例5-18,穿越的概念,在a点相频特性由上而下穿过横轴，这称为负穿越；在b点相频特性由下而上穿过横轴，这称为正穿越.,若其对数相频特性一开始就由向下，则算负半次穿越；反之，若对数相频特性一开始就由向上，则算正半次穿越，如图所示,在开环的对数相频图上，在0c的频率范围内即L()0时，正穿越和负穿越-180轴线的次数之差为p/2时，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。注意几点：1）正、负穿越次数之差；2）当有多个幅频穿越c1、c2、c3等时，、要以最大的c3作用考虑相频图中的正、负穿越次数，且应考虑L()0；3）对数相频特性从一开始就为180时，为半次穿越；4）在P=0，且c,g
20、只有一个时，cg时稳定。,小结：,5-7 系统的相对稳定性,从Nyquist稳定判据可推知；若P0的闭环系统稳定，且当Nyquist轨迹离点(一1，j0)越远，则其闭环系统的稳定性越高；开环Nyquist轨迹离点(一1，j0)越近,则其闭环系统的稳定性越低这便是通常所说的系统的相对稳定性，它通过对点(一1，j0)的靠近程度来表征，其定量表示为相位裕度和幅值裕度,一、相对稳定性和稳定裕度,例如：某最小相位系统的乃氏图如右：,由图可知：,1、若P=0，则该系统是 稳定的,2、该系统最简的传函是：,3、增加K值，在K=Kf时，曲线通过（-1,j0）点，这时系统处于临界稳定,可见：曲线在(-1,j0)
21、点右侧穿越负实轴，系统稳定，离该点越远相对越稳定,4、增加K值时,曲线往 左扩 张,KKf时包围(-1,j0)点，使系统不稳定,KKf,相对稳定性用两个参数来衡量：,1)在=c处，|G(j)|=1,若系统稳定 g=180+(j),应0,2)在=g处，(j)=-180,若系统稳定 Kg=1/A(),应1,g 称为相角稳定裕度（g 越大相对稳定性越好）Kg称为幅值稳定裕度（Kg越大相对稳定性越好）,幅值穿越频率,相角穿越频率,相对稳定性是用两个参数来衡量的，稳定性度大，必须两个参数都要大,在Bode图中，稳定裕度描述如图：,稳定裕度在Bode图中的描述,因为，在对数幅频特 性图中，纵坐标是用增益刻
22、度，所以，幅值稳定裕度Kg用 Kg(dB)=20lg(1/A()来表示,因此，和Kg一致，h 越大，则相对稳定裕度就越大,上图系统 0,h0,闭环是稳定的,相角稳定裕度&幅值稳定裕度,对于闭环系统来说，若稳定，则和Kg(db)均为正,二、注意事项,为使这样的系统具有满意的稳定性储备：一般希望r=3060；Kg(dB)6db 即Kg2。在实际中两者都要有一定的储备，如P138例16 必须同时考虑相位裕量和幅值裕量Kg，见书上P139例题。,对数判据有以下优点：,Bode图易作，且可通过渐近线粗略估计稳定性。很容易判别各环节对系统稳定性的影响，有利于对参数进行合理选择或校正。调整增益K时，只需将对数幅频特性曲线上、下平移即可，因此，很容易得到满足系统稳定要求的增益值K。,右图系统闭环不稳定：0,h0,K，相频特性不变，幅频特性下移，导致wc就有可能得到0,h0使系统稳定。,如果：减少系统的传递系数K，稳定性将如何变化？,h,例5-21,作业：5-65-105-165-22,总结,稳定性概念代数判据-劳斯,赫尔维茨-解决稳定性判断几何判据-奈氏,伯德,增加相对稳定性判断.,奈氏判据：通过特征式建立开闭环多项式的联系，是由开环稳定性判断闭环稳定与否的基础。,米哈伊洛夫定理为基础,稳定或不稳定,
