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1、,第十节,一、最值定理,二、零点定理与介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,一、最值定理,1、定义：设 f(x)在 I 上有定义，若,都有,，则称,为 f(x),在 I 上的最大（小）值 M(m).,注意：1）f(x)在 I 上的最值可能存在也可能不存在。,例：f(x)=x 在 a,b 上有最大值b,最小值a;但在(a,b)上没有最大值和最小值。,2）最大值与最小值也可能相等。例:常值函数。,3）最值是整体概念。,4）最值的可能点：端点、极值点、不可导点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、a,b上的连续函数的最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,
2、即:设,则,使,值和最小值.,在该区间上一定有最大,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：1）定理的条件充分不必要。,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2）若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,或在闭区间内有间断,点,推论.,二、零点定理及介值定理,2、定理(零点定理),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,1、函数f(x)的零点：,设f(x)在I上有定义，若,使得,则称,为f(x)的零点。,注意：1）,即f(x)的零点为f(x)=0 的根。,2）函数的零点
3、即为y=f(x)与x轴的交点。,（条件充分不必要！）,分析：,3、定理(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：1）,定理的条件充分不必要。,2）证明的过程实际上就给出了含有中间值,的等式的方法。,应用：1）证明含有中间值,的等式。,2）证明方程的根。,例1、设,证明：,证明：分析：,即求零点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由零点定理知：,例2、设,证明：,分析：,即求零点。,证
4、明：令,易知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,故由零点定理知：,例3、,证明：,（证明略.提示：令F(x)=f(x)-g(x)）,例4、证明方程的根：,1）证明：,至少有一个根。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,至少有一个根,2）证明：,至少有一个根。,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,即,至少有一个根,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3）.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束,则,则,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,1、设,判断f(x)的连续性。若有间断点，并确定类型。,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x=0为跳跃间断点。,x 0,or x 0 时，f(x)为初等函数，连续。,2、讨论函数的连续性：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,为无穷间断点。,为可去间断点。,为可去间断点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以 x=0 为跳跃间断点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、设,求 1）f(x)2）讨论 f(x)的连续性。,解：1）,2）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,f(x)在 x=1点连续，,x=1为跳跃间断点。,f(x)在 x=-1点连续，,否则，x=-1为跳跃间断点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
