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1、,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、正项级数及其审敛法,若,显然：正项级数的部分和数列,是单调增加数列，,即：,由数列极限的存在定理知：,如果部分和数列,否则，它发散。,有上界，,则称,为正项级数.,则它收敛；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1.正项级数,收敛的充要条件是：,部分和数列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(比较审敛法),设：,有：,(1)若级数,则级数,(2)若级数
2、,则级数,则有：,收敛,也收敛;,发散,也发散.,是两个正项级数,常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,设,因为:,所以：,（1）如果级数 收敛，,则 有界，,因此 也有界.,所以，级数 收敛,设,因为:,所以：,（2）如果级数 发散，,因此 也无界，,则 无界.,所以，级数 发散,例1.讨论 p 级数:,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令:,2)当,1,2,3,4,n,1,所以 Sn 有界，p 级数收敛。,综上所述：,当 p 1
3、时，收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 p 1 时，发散,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有:,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足:,(1)当 0 l+时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知:,的敛散性.,定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数
4、,且,则:,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:当,时,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数可能收敛,也可能发散.,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据 定理4 可知:,级数收敛;,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级数，,则：,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.讨论级数,的敛散性.,解:,根
5、据 定理5 可知:,级数收敛;,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根值判别法失效,但此时，有,级数发散;,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：判断级数 的敛散性,解：（1）因为,（2）,=0,由交错级数审敛法：,收敛,例2：判断级数 的敛散性,解：,（2）,=0,条件（1）用导数来判断,设函数,当 时，,即函数 单调减小。,由此
6、可以推得：,由交错级数审敛法：,收敛,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),
7、而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
