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1、2023/7/5,1,欧拉(1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理,积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数,公式和定理.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,2,目录 上页 下页 结束,幂级数的应用十分广泛，例如可用于近似计算，表示非初等函数，解微分方程等。前面我们看到，幂级数的一般项形式简单，便于进行微
2、分、积分运算，将函数写成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。,第五节 函数幂级数展开式的应用,第十一章,一、近似计算,二、欧拉公式,本节介绍：,2023/7/5,3,一、近似计算(仅讲例1,3,5),例1.计算,的近似值,精确到,解:,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,4,例3.利用,求,误差.,解:先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值,并估计,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,5,例5.计算积分,的近似值,精确到,解:由于,故所给积分不是广义积分.,若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间,上连续,且有幂级数展开式:,目录 上页 下页 结束,2023
3、/7/5,6,二、欧拉(Euler)公式,则称 收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于,故知,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,7,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当 y=0 时,它与实指数函数,当 x=0 时,的幂级数展式一致.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,8,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,9,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,10,一、三
4、角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,第七节 傅里叶级数,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,11,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,12,证:,同理可证:,正交,上的积分等于 0.,即其中任意两个不同的函数之积在,目录 上页 下页 结束,定理 1.三角级数的函数系,2023/7/5,13,上的积分不等于 0.,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积
5、在,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,14,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,证:由定理条件,对在,逐项积分,得,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,15,(利用正交性),类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,16,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数.,称为函数,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,17,定理3(收敛定理,展开定理),设 f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Diric
6、hlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x 为间断点,其中,(证明略),为 f(x)的傅里叶系数.,x 为连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,18,例1.,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,上的表达式为,解:先求傅里叶系数,将 f(x)展成傅里叶级数.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,19,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,20,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,说明:,
7、f(x)的情况见右图.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,21,例2.,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,22,说明:当,时,级数收敛于,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,23,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在,上的函数 f(x)的傅氏级数展开法,其它,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,24,例3.将函数,级数.,则,解:将 f(x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x),目录 上页 下页 结束,2023/7/5,25,利用此展式可求出几个特殊的级数
8、的和.,当 x=0 时,f(0)=0,得,说明:,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,26,设,已知,又,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,27,三、正弦级数和余弦级数,1.周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,28,例4.设,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解:若不计,周期为 2 的奇函数,因此,目录 上页 下页 结束,2023/7/
9、5,29,n1,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f(x)的情况见右图.,n5,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,30,例5.将周期函数,展成傅里叶级数,其,中E 为正常数.,解:,是周期为2 的,周期偶函数,因此,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,31,2.在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F(x),f(x)在 0,上展成,周期延拓 F(x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f(x)在 0,上展成,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,32,例6.将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:先求正弦级数.,去掉
10、端点,将 f(x)作奇周期延拓,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,33,注意:,在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数,因此得,f(x)=x+1 的值不同.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,34,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,35,说明:令 x=0 可得,即,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,36,内容小结,1.周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意:若,为间断点,则级数收敛于,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,37,2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数
11、,3.在 0,上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,1.在 0,上的函数的傅里叶展开法唯一吗?,答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,2023/7/5,38,处收敛于,2.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于.,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,39,备用题 1.,叶级数展式为,则其中系,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),的傅里,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,40,2.设,是以 2 为周期的函数,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示:,令
12、,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,41,傅里叶(1768 1830),法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,目录 上页 下页 结束,2023/7/5,42,狄利克雷(18 05 1859),德国数学家.,对数论,数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.,他的主要,的创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集(1889一1897)中.,1829年他得到了给定,证明,目录 上页 下页 结束,
