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1、,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回
2、结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结:,特征方程:,实根,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业 P310 1(3),(6);2(2),(6),第九节 目录 上页 下页 返回 结束,
