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1、四、函数的间断点及其分类,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,三、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、连续函数的运算性质,例1.设函数,一、函数连续的概念,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,设函数,且,，讨论,在,处的连续性。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由例题可见,函数,在点,(1),在点,即,(2)极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在;,有定义,存在;,例2.设函数,，讨论,处的连续性。,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称,在,或称它为该区间上的连续函数.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,上连续,则称,且在 a
2、点右连续，,在 b 点左连续，,在闭区间,上连续。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,在,上连续.,有理整函数（多项式函数）,又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有函数的增量,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,在点,连续有两种形式的定义：,用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性,用于证明函数在任意点处的连续性；,或用于函数连,续的理论分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束,定理2.连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,二、连续函数的运算性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.由连续函数构造的复合函数也是连续函数.,在,上连续 单调 递增,反函数,在,上也连续单调递增.,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返
4、回 结束,三.初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内都连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,四、函数的间断点及其分类,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则,这样的点,下列情形之一时,函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例4.求
5、下列函数的间断点,时无定义，,且,时无定义，,且,不存在，,时无定义，,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,是分段点,是分段点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,初等函数的间断点只能产生在函数孤立的无定义点上,分段函数的间断点往往产生在分段点上（具体判别）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点的寻找：,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为第一类可去间断点.,为第一类跳跃间断点.,为第二类无穷间断点.,为第二类振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点,例6.设,提示:,为连续函数,求 a，b.,答案:x=1 是第一类可去间断点,及类型。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P41 1(2，3)；2（2，3）；,4（3，4，5）；5,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,
