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1、连续函数的概念 函数的间断点,第九节 函数的连续性与间断点,连续函数的概念第九节 函数的连续性与间断点,在函数极限概念的基础上,我们引入另一个 基本 概念函数的连续 性.函数的连续 性是 函数的重要连续函数是非常重要的一类函数,也是函数的一种重要性态之一.函数的连续性描述的是自变量有微小变化时,相应的因变量的变化也很微小.,在函数极限概念的基础上,我们引入另一个 基本 概念函数,函数的连续性是描述函数的渐变性态,对函数连续性一般有三种描述：,连续函数的图形是一条连续不断曲线；,什么是函数的连续性?,当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；,自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；,例如：,
2、函数的连续性是描述函数的渐变性态,对函数连续性一般,如何用数学语言刻画函数的连续性？,如何用数学语言刻画函数的连续性？,一、连续函数的概念,1.函数的增量,一、连续函数的概念1.函数的增量,自变量和因变量的 增量表示方法:,自变量和因变量的增量都可正可负,2.连续函数的概念,(1)函数 y=f(x)在 x0 点连续,自变量和因变量的 增量表示方法:自变量和因变量的增量都可正可,注,注oxyy=(x)xy,函数 y=f(x)在 x0 点连续的等价定义,注,该定义包含三重含义:,(1)函数 y=f(x)在 x0 点有定义;,(2)极限 存在;,(3);,函数 y=f(x)在 x0 点连续的等价定义
3、注该定义包,例1,证,由定义2知,利用函数 y=f(x)在 x0 点连续的定义经常用来讨论分段函数在分段点的连续性.,例1证由定义2知利用函数 y=f(x)在 x0 点连续,例2,证,例2证,(2)单侧连续,由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念.,记为,记为,因为,则有,(2)单侧连续由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连,结论:函数(x)在x0 处连续的充要条件是(x)在 x0 处既左连续又右连续.即,定义4 若函数(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称函数(x)在开区间(a,b)内连续;,若函数(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点 a 右连续,在右端点 b
4、左连续,则称函数(x)在闭区间a,b 内连续.,(3)函数 y=f(x)在区间上连续,结论:函数(x)在x0 处连续的充要条件是(,注 1.区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段.,2.讨论分段函数在分段点的连续性.,例3,解,右连续但不左连续,注 1.区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段,解,练一练,解 讨论函数在 x=1处的连续性.练一练,在点x=0,x=1处是否连续.,解,在点x=0处,因为,所以,f(x)在点 x=0处不连续.,因为在点x=1处,又,所以f(x)在点 x=1处连续.,在点x=0,x=1处是否连续.解在点x=0处,解,练一练,解练一练,确定常数 k,b的
5、值,使函数 在定义域内连续.,解,练一练,要使(x)在 x=0 处连续,故,确定常数 k,b的值,使函数 解练一练要使(x)在,确定常数 a,b,使 为连续函数.,则要使(x)连续,则(x)就必须在 x=1处连续.,解,练一练,确定常数 a,b,使,解之,得 a=0,b=1,故当 a=0且 b=1时,函数(x)连续.,由定义2可知求连续函数在某点的极限即为求此点的函数值.,解之,得 a=0,b=1故当 a=0且 b,若以上条件至少有一个不满足,则称(x)在 x0 处间断.即,函数在 x0 点连续必须同时满足以下三个条件:,二、函数的间断点,(1)函数 y=f(x)在 x0 点有定义;,(2)极
6、限 存在;,(3);,(2)(x)在 x0 处虽有定义,但 不存在;,(1)(x)在 x0 处没有定义;,(3)(x)在 x0 处虽有定义,且 存在,但,若以上条件至少有一个满足,则称(x)在 x0 处间断.,若以上条件至少有一个不满足,则称(x)在 x0 处间断.,间断点的分类,1.第一类间断点,(1).跳跃间断点,例4,解,间断点的分类1.第一类间断点(1).跳跃间断点例4解,例 符号函数,例,-2,例 符号函数 例1-1-2,(2).可去间断点,例5,解,(2).可去间断点例5解,注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为
7、第一类间断点.,注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则如例,2.第二类间断点,例6,解,(1).无穷间断点,2.第二类间断点例6解(1).无穷间断点,(2).振荡间断点,例7,(2).振荡间断点例7,第一类间断点：,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点：,左右极限都存在的间断点；,左右极限至少有一个不存在的间断点：,无穷间断点,振荡间断点,第一类间断点：可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点：左右极限,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如,为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.,解,练一练,解练一练,第九节函数的连续性与间断点(创新班)课件,x=1,x=0,x=1 为间断点.,提示,x=1,x=0,x=1 为间断点.4.,解 间断点,为无穷间断点;,练一练,解 间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.练一练间断点,解,非初等函数连续性问题举例,解 非初等函数连续性问题举例,第九节函数的连续性与间断点(创新班)课件,解,解,第九节函数的连续性与间断点(创新班)课件,
