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1、第十一节 连续函数的运算与性质,一、连续函数的算术运算,二、反函数的连续性,五、闭区间上连续函数的性质,三、复合函数的连续性,四、初等函数的连续性,一、连续函数的算术运算,定理1,例如,二、反函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,证,三、复合函数的连续性,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,例2,解,同理可得,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,四、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续)
2、,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例3,例4,解,解,五、闭区间上连续函数的性质,定义:,例如,定理7(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,定理8(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连
3、续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例5,证,由零点定理,例6,证,由零点定理,小 结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,两个定理;两点意义.,反函数的连续性.,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,思考题,1.,2.下述命题是否正确？,思考题解答,是它的可去间断点,1.,2.不正确.,例 函数,练 习 题（一）,练 习 题（二）,练习题（一）答案,
